RECTIFICATION DES COURBES

* 227. Courbes planes en coordonnées rectangulaires. - — Nous désignerons par s l’arc indéfini et par ds son élément M1VT. On peut, sauf des infiniment petits d’ordre supérieur, le confondre avec sa corde. Celle-ci est l’hypoté-

, •• CALCUL 1NTÉGTUL. ■ . ' P-"] 7 ] * '

mise du triangle rectangle MiVl'-K, dont les deux autres

Fie- 19.

eôtés sont <lx et dy . On a donc .

. ' • ds * — rf-r’ 4- dy 1 .

Pour passer de l’ élément à l’are lui-même, on le mettra sous la forme

et on tirera — de l’équation de la courbe en fonction de x

seul. Le théorème (207) permcttra-alors de faire la somme . de tous les éléments compris entre les points arbitraires , M, et M, d’abscisses x, et x, au moyen de l’intégrale définie ... - -

' L’une des limités x\ pourra rester quelconque, mais ou .aura toujours soin de choisir 'x { de manière à simplifier -le plus possible le résultat. On ne particularisera par là en aucune façon, puisqu’un arc quelconque peut toujours être . considéré comme la différence de. deux autres qui aboutissent à un point donné M,. - '

On peut avoir à évaluer, le contour entier d’une ligne . fermée, que je suppose convexe pour fixer les idées. L’éqtia-

lion devra alors pour chaque valeur de x eu fournir deux . de j- :

On considérera successivement les deux branches qu’elles fournissent, et on les rectifiera au. moyen des formules •

; = £WyV [z]’ ( :‘ , "X. V V /,+ [êJ- ■

Les limites x, £t x 4 seront alors les abscissesextrèmesdc ces branches, c’est-àrdire celles des points où elles se soudent l’une à l’autre et où les deux valeurs de y se confondent en une seule. On pourra déterminer Ces points, soit par l'équation

soit par la méthode de recherché des points limites (122).

228. Exemple. — Considérons la . chaînette qui est représentée par l’équation . V •

- et cherchons sa longueur comptée à partir dé son sommet

On tire de l’équation , . ' . .

rfy r— t'~* y '

dx 2

f dr V • ; ;e* -H e- 2 * — 2 <?*.+. e-** 4-2 / e*4^ r*\ î-

‘ Z;." x «i- -|fr ^

ÇÂLCITL IHTÉOllAL. ■ 379 *

Comme celte valeur reproduit celle de ~ cl que les coor- / * ' * ' . ( , données sont rectangulaires, on peut aussi écrire

s ~ tang f,

et on retrouve ainsi la seconde forme que nous avons cm- V ployée pour l'équation de la chaînette (1 443, I). ”

On a aussi identiquement, d’après les valeurs qui précèdent, , . ' «■

dx ■: • - ■<

doue l’arc de la chaînette est égal à la projection de l’ordonnée, sur la tangente. , . ■/. .

Le point S appartiendra par suite à la développante qui part du sommet A. La ligne SP sera sa tangente, car elle v »7 ■ est perpendiculaire sur SM. Or on a •

MS i