SP

tang MPS

tang y

La tangente de celle courbe est donc constante et par suite la développante de-la chaînette est une tract rire DAD'(12i).

229. Courbes planes en coordonnées polaires. ■ — L’arc élémentaire MM' ou plutôt sa corde (/‘g- 6, p. 1 55) forme l'hypoténuse d’un triangle rectangle MKM' dont les côtéssont dr et rd 2 (127) - On a par suite

ds' =3 dt 7 -f- r 3 tl 0’.

Pour passer de l’éléineut à l’arc lui-mème, on le mettra sous la forme

on tirera r et — de l'équation de la courbe en fonction de 0 seulement, et on aura, comme dans le cas précédent,

/ f <tr 1 3

l rf, v

Ou procédera encore de la même manière pour obtenir le contour d’une ligue fermée.

230. Exemple. — Considérons la spirale logarithmique qui est représentée par l’équation - , ' •

.» Cl cherchons sa longueur à partir du pôle. Nous allons reconnaître, en effet, qu’elle reste finie, quoique composée d’une infinité de spires.

On tire de l’équation

y/ H j = \/ m* **-f- »?° L'tti aï m \j\ -+-L'm.

Nous pouvons toujours supposer m^> I. Il suffirait, s’il en .était autrement, de renverser le sens de' la courbe, ce qui

changerait 0 en — 0 ou ni en — • On aura alors (128, I)

fi l î T\ tr> rv« "1” L? * H f) i

s~ I m y i -| - L’jn.dO = \ ni I

J-<r> \ Lm J œ

V f -I- COIV 0 r

». COt fl COS fl

Digilizâd by Coogle

CALCUL intégiUl. 281

Mais r est le côté d’uu triangle rectangle OMS ( fig*J , p. i56);dont u est l’angle adjacent, par suite s en est l’hypoténuse MS. Ainsi l’arc de la spirale logarithmique est égal à sa tangente (129).

231 .Courbes gauches , — Si il a désigne la projection horizontale de l’arc ds , celui-ci sera l'hypoténuse d’un triangle rectangle situé dans un. plan vertical et dont dn et dz seront les deux autres côlés.'On aura doue .

ds 1 = du 1 dz 2 .

Mais da est l’arc élémentaire de la courbe plane, projection horizontale de là proposée. Donc (227)

et enfin

da 2 =± <£r* + d/ 2 ,

. ds 2 ±= dœ 2 4- 1 fy 2 .+ dz 2 .

Pour revenir de l’élément à l’arc lui-même, on 'écrira

: a . f f£]. + [Si* v " r

cl on substituera en fonction de x seul les valeurs de — •»

' , . ' v tlX *

dx

tirées des deux équations de la courbe. On aura ensuite

- V 'Hsl + fêl' ; ;

On procédera, comme dans le premier cas (227), pour . avoir le contour d’une ligne fermée. '

cj . . t ■ f'

232. Exemple. — Considérons, l’hélice qui est repré- . semée par les équations .

j = cosmx % z-== çinmx.

fil cherchons sa longueur à partir, du. point où elle coupe l’axe des . . \

Ou tire des équations

— = — msin mx , — = ni cos mx , dx \ dx

•i' 1 sia 2 mx 4- ni- cos 'mx s= i + m‘.

. . riz

dx

et, pSr suite ( 1 7G ) ,

s — I dxdx-’t- m 1 — di-\- /»’ . [xi i -H eut* i.x : — — ■■■ •

Jo f suw

On voit par là que Tare d’hélice est proportionnel à sa • projeetion sur l’axe de la courbe.

i QUADRATURE DES AIRES PLANES.

233. Coordonnées rectangulaires. — Nous nous proposons de trouver pour une ligne plane quelconque l’aire S ' du trapèze mixtiligne formé, par la courbe, l’axe des abscisses, et deux ordonnées, quelconques, M, P, ctM s P,

L’élément de cette aire sera le trapèze mixtiligne MM / PP / . On peut le confondre avec le rectangle MKPP', car il n’en diffère que par le triangle mixtiligne MM'K qui a deux dimensions infiniment petites, tandis que le rectangle n’en a qu’une. Mais ce dernier a pour surface le produit de ses deux- dimensions, donc

d$ = y<lx,

cp (pi on énonce quelquefois en disant que l’ordonnée est la dérivée de l’aire.

CALCUL INTÉGRAL-. '«83

Pour remonter de l’élément à l’aire ellc-memc, on remplacera y par sa valeur tirée de l’équation de la courbe; le théorème (207) permettra alors de .faire la somme S de tous les éléments compris entre les points arbitraires M, et M, au moyen de l’intégrale définie

S =. I rrfj;

On peut reproduire ici les observations que nous avons déjà faites (227) sur 'le choix des limites.

Pour obtenir- l’aire intérieure d’une courbe fermée, on opérera comme pour la recherche du contour (227). Mais on devra employer la formule

- ■ „ ’ S = S| — Si,

parce que les deux aires ainsi calculées se recouvrent,, tandis que les arcs étaient en prolongement l’un de l’autre.

Exemple. — Cherchons l'aire de l’hyperbole équi.latère-

. à partir de son sommet. On aura

Lar.

231. Si nous désignons par Y l’ordonnée moyenne dans l’intervalle de r, à on aura (218)" .

d’où

: rdjc