JY=Ü

co qui montra que l’ordonnée moyenne est celle d’un rectangle qui aurait môme base et môine surface que la courbe dans l’étendue que l’on cohsidère. . i' ■

Exemple. — Considérons les paraboles d’ordre quelconque .

et cherchons-cn l'aire à partir de l’origine. O 11 a trouvé (21 &)

et comme la base est x,

xy

l’aire est donc proportionnelle au rectangle des coordonnées extrêmes.. ■ . . . ■

On a, par exemple, pour la parabole-ordinaire

Ce résultat exige (219, II) que n soit supérieur à — »i . S’il » est positif, c’est-à-dire pour les paraboles quelconques, la condition est toujours remplie. Pour les hyperboles quelconques, fi est négatif et les deux axes sont des asymptotes. Or on peut prendre les deux formes équivalentes . ' :

et il y en a' toujours une des deux pdur laquelle l’exposaut 'est inférieur en valeur absolue à l’unité, ce qui satisfait à la condition précédente. Ainsi le résultat subsiste poulies hyperboles, mais à la condition que les aires soient

CALCUL INTÉGJUL.. ' a85

comptées à partir «le celle tics «leux asymptotes qui correspond au plus petit exposant.

.Un seul cas échappe à la règle générale, c’est celui où

ri = — i, car on a encore ^ == — 1 . Mais l’cqualion rc-

' présente alors l’hyperbole équilatère que nous avons considérée directement (233) et pour laquelle la loi est entièrement différente.

235. Coordonnées polaires. — Proposons-nous de trouver pour une courbe quelconque l’aire S du triangle mixtiligne formé par la courbe et deux rayons vecteurs quelconques qui correspondent aux azimuts ô, et 6,. .

L’élément de cette aire sera le triangle mixtiligne 0M M' (Jig. 6, p. i55). On peut le confondre avec le secteur circulaire OMK, car il n’en diffère que par le triangle mixtiligne MM' K dont les deux dimensions sont infiniment petites, tandis que l’uoe de celles de OMM' est finie. Ce secteur ayant pour rayon r et pour angle d9 a pour surface

rfS = .-r-V9.

Pour remonter de l’élément à faire elle-même, on substituera r d’après l’équation de la courbe en fonction dé 0.. On aura ensuite

-if

L’évaluation d’une aire fermée se fera comme au § 233. 230. Exemple. — Considérons la spirale logarithmique

rz=. m ,

et cherrhons-cn faire comptée à partir du pôle. On voit

<j4ic les différentes spires se recouvrent l’une l’autre, de sorte que le résultat ainsi obtenu servira seulement à trouver la surface d’un triangle mixtiligne en prenant la différence des aires qui aboutissent à scs deux côtés.

On a, d’après l’équation de la courbe,

Si on considère le triangle rectangle MOS (Jîg- 7 , p. i56), il a pour côtés OM = r, OS = rtangft, et pour surface

- /•* taug fi. Par suite l'aire de la spirale logarithmique est la

moitié de celle du triangle formé par le .rayon -vecteur, sa perpendiculaire et la tangente.