QUADRATURE DES SURFACES COURBES

237. Nous nous proposons de chercher la superficie - S delà calotte coarhe qui est comprise dans un contour tracé à volonté sur une surface quelconque.

Pont en trouver d’abord l’élément, menons une infinité de plans parallèles à celui des \Z, tous équidistants et séparés par l’intervalle dx. Ils découperont la calotte en zones infiniment étroites d S. En menant ensuite une infinité de plans parallèles à celui des ZX séparés par l’intervalle constant dy, on divisera chaque zone en carreaux élémentaires d ' S dont il s’agit de trouver la valeur.

Tous les carreaux ont pour projections horizontales des rectangles qui ont pour côtés dx, dy, et pour surface dxdy. Dans cette étendue infiniment petite la surface peut être confondue avec son plan tangent, ou le carreau considéré comme un qu ad r il a 1 ère plan, üii sait qu’alors sa projection

CALCUL INTÉGRAL. ^87

est le produit de sa surface il- S par le cosinus.de l’angle dos deux plans, ou de l'inclinaison « du plan tangent sur le ‘jdaii horizontal. On a donc

V/’ S.cosç — djcily , dxdy

, Mais celle inclinaison a été calculée d’une manière genc raie (64, p. ai5). Il vient, par suite,

* 238. Pour passer de l’élément à la superficie clic-même, on commencera par différenlier l’équation de- la surface • successivement par rapport à x et à y. On en tirera les deux

dérivées partielles 0,1 ^ cs substituera en

fonction de x et y seulement dans l’expression de l'cléincnt. >

11 faudra ensuite ajouter tous les carreaux ensemble. INous ferons cette opération en deux fois, en groupant d’abord tous ceux qui constituent une zone, de manière à avoir l’expression do cette zone; puis ajoutant toutes les zones ensemble pour avoir la calotte entière. Deux intégrations seront donc nécessaires. On les dirigera de la manière suivante.

Le caractère commun à tous les carreaux d’une meme zone est d’avoir la même abscisse, qu’on peut considérer comme celle de la zone. Nous serons donc sûrs de prendre tous les carreaux qui constituent cette bande, cl rien qu’eux, en attribuant par la pensée à x une valeur fixe, et laissant, au contraire, varier y d’un carreau à l'autre.. En d'autres termes, il fâut faire une première intégration par rapport à y en traitant x comme une constante.

mvnE tv.

Pour fixer les limites de cette intégrale défiuie, il est nécessaire de se donner par son équation

tout à fait indépendante de celle de la surface, la projection horizontale du contour de la calotte. Cette ligne est nécessairement fermée et par suite son équation se dédoublera ën deux

Lorsque x à reçu la valeur qui caractérise la zone dont on s’occupe, y t et y t sont les ordonnées de son premier et de son dernier carreau (*). Ce sont, par.suitc, les limites entre, lesquelles il faut faire varier y. Nous aurons donc pour la valcur-de la zone

239. Dans cette expression j - a disparu, comme cela a toujours lieu pour le svmbole d’intégration; mais x y figure à double titre , d’abord parce qu’il préexistait dans l’expression où il a été traité comme un paramètre constant , ensuite parce que les deux limites par lesquelles on a remplacé le symbole d’intégration j', sont des fonctions de x,/’, (x) et

Pour ajouter ensemble toutes les zones, il faudra encore intégrer par rapport à x en le faisant varier depuis la plus petite jusqu’à la plus grande des valeurs qu’il prend dans l’étendue considérée. Ces quantités x, , x s , qui sont le maximum et le minimum de x, se détermineront, soit d’après le

( *) A proprement parler il y a souvent sur le bord non plus un carreau, mais un triangle mixtiligne. Mais on peut le négliger vis-à-vis’ de la ïoiic elle-même et considérer le carreau qui le suit immédiatement.

CALCUL 1RTÉCRAL. 28y

mode de recherche des points limites (122), soit par l'équation

On aura donc enfin pour l’expression de la calotte courbe

240. Lorsqu’on cherchera la superficie complète d’uhe surface fermée-que je suppose convexe pour plus de simplicité, l’équation de la surface donnera nécessairement pour l’ordonnée deux valeurs

*, = F, (*,/), î, = F :{x,jr).

Elles correspondent aux deux nappes qui sont séparées par le contour apparent de la surface relatif au plan horizontal. On trouvera celui-ci soit d'après la méthode générale (179), soit en exprimant que les deux nappes se soudent l’une .à l’autre le long de cette ligne, ce qui donne l’équation

Oi* considérera successi veinent ces deux valeurs de l’ordonnée pour trouver les superficies S, et S, des deux ealotle.s correspondantes et l'on aura ensuite

241 . K xf.mple. — Cherchons la surface complète de la splière' qui â pour équation

■* ! + y-t-i 1 ~ rv

Ori en lire pour la nappe supérieure

■* = + V'R’— i (lz\ — IX

, \ dx I 2 y/R’ — x 1 — y 1

/ dz\ __ — 3 y y

\<fy) 2 yR 1 — x ' 1 — y 1 2

On a ensuite pour le contour apparent

L’expression générale devient par conséquent ( 79, p. 226 ) Il VK* — J

11 /• ■+- v — *- R rfy

/ ,+ K r r q + v'lt’ — ■*'

3='R I rfx I arc sid — ==■ I

- y/lt' -

V'R’ — ^j-y/RT

rfx[arcsin(+i) — arc sin (— i)J.

dr = ttR [.r] ]( = 2 irR’, . ' ’ ,

• Il

Comme on trouverait évidemment le même résultat pour la

Digâized by Googfë

CAtCCL.IXTÉClUt.. àOI

nappe inferieure Sj, il vient

242. Surfaces de révolution. — On peut simplifier notablement les opérations quand la surface est de révolution. Nous prendrons son axe pour celui des z, et nous chercherons la superficie d’une zone finie comprise entre les deux parallèles arbitraires qui correspondent aux ordonnées z, et z t . • •

L’élément sera une zone infiniment petite décrite par l’arc élémentaire ds du méridien. On peut le confondre avec la surface du tronc de cône qui. est engendré par la cordey 'dx* -4- r/z’, avec le rayon de base x qù’on peut aussi bien considérer comme le rayon moyen. On aura donc

fl'S : — 5 t r 4- riz 1 .

Pour passer de l’élément à la zone elle-même, on mettra celte expression sous la forme

fl S = 2 JT