V-[ÊÏ
dzi
dx
et on remplacera x et — en fonction de z d’après l’équa-
tkm de la courbe méridienne qui doit être connue entre z
et x. On aura ensuite ...
riz .
243. Exemple. — Cherchons la superficie du tore ou de la surface engendrée par la révolution d’un cercle. Nous la considérerons comme la somme des deux nappes qui sont décrites par les deux moitiés du cercle séparées par le dia mètre parallèle à l’axe de révolution.
aga ' Livnt.iv. •
L’équalion de la méridien ne* sera, eu plaçant l'équateur dans le plân des XY,
=t\ = H — ^r 1 — z\ x 7 = Il -H Yr 1 —
A chaque élément ch de la demi-circonférence située du côté de l’axe cl qui a pour distance à cef axé x lf en correspond up égal dé l’autre demi-ci rconférence à la distance x t . La sonime des éléments superficiels qu’ils décri vent sera
27rx,r/f -4- 2 7T z,ds 2îrrff X-,) =; 4 77 R. d s ■
La surface complète sera donc, en faisâiit varier ds datés toute l’étendue de la demi-circonférence, méridienne,
/*ît r ^
S — I 4 w A fis — 4 w R [.t]jj r = 4 w ’hcz=27rr.27iR.
Ainsi donc la surface du tore est le produit de la circonférence méridienne par celle que décrit son centre.
§ *Vv
CUBAÏÜRE DES' VOLUMES.
244. Xous chercherons pour une surface quelconque le. volume V de la colonne comprise entre une calotte quelconque, son cylindre projetant et le plan horizontal. Pour former son élément, nous mènerons encore deux séries de plans parallèles aux plans verticaux, la première donnera une série de tranches d Y et la seconde découpera d’ans chacune d’elles une série de colonnes élémentaires d i \. ' .
Pour évaluer l’une de ces dernières, on peut la confondre avec le parallélipipède rectangle droit qu’on obtient en
CALCUL IMÊCUAL.
ag3
la tronquant par nu plap horizontal mené par le point le ]4us bas du carreau qui la surmonte. Eu effet, la partie ainsi supprimée a trois dimensions infiniment petites, tandis que la colonne n'en a que deux. La base de ce parallélipipède est, comme nous l’avons vu, dxdy et sa hauteur z. Il • a donc pour volume ’ * . ■ .
• . . ‘ d’\ t=zrlJtilr.
Pour passer de l'élément au volume fini, on remplacera z en fonction de x et de j" d’après l’équation de la surface. Puis. ou groupera successivement les éléments qui composent une tranche', elles tranches qui constituent la colonne proposée, en reproduisant identiquement les raisonnements du § 238. On obtiendra ainsi, en conservant les mêmes notations, ' • ■' ' • •
V r - tîx I zdy .
Pour trouvée le volume compris dans 1 intérieur du né surface fermée, on opérera .encore dé la même manière. Mais on appliquera la formule.
• \ • * 4 V = V, — V Jf
car les deux colonnes se pénètrent, tandis que les deux calottes étaient en prolongement.
245. Exemple. — Considérons le /dan gauche ou paraboloidc hyperbolique rapporté ;f son sommet et à ses plans directeurs que je suppose rectangulaires; Il aura pour équation
• - P = niicy.
Nous chercherons le volume d’une colonue rectangulaire dont les faces soient" parallèles aux plans directeurs.
Les limites des deux intégrations seront alors constantes et égales aux coordonnées o, a , b , b' des quatre sommets de la base. On aura donc ■ . • . •
ni jc y dy — ni f • xdx I ydr
J a Jh
=J dr J
' in (b ' ! — f ! ) [à’* — /»’)
(a'-ha)(b'-h.b)
ma b
niab'
- 4 - ma' b -+- ma b'
Or a! — « et b' — b sont les côtés de la base; leur produit en mesure donc la surface B. Quant aux quatre termes du numérateur, ce sont, d’après l’équation de la surface, les arêtes /«, h\ h ", h" 1 de la colonne. On a par suite
Le volume du plan gauche est le produit de la base par la moyenne arithmétique des quatre arêtes.
24(5. Volumes /le révolution. Lorsque la surface est de révolution, 011 peut profiter de -cette circonstance pour opérer plus simplement. ‘On cherche la tranche finie qui est comprise entre deux parallèles arbitraires correspondant aux ordonnées z, et z,. L élément est un volume analogue, mais qu’on peut confondre avec un cylindre droit dont la hauteur serait dz et la base 7rjr 5 . On a ainsi' 1
r / V = K.i^ilz. . '
Digitiz&d tjy
CALCUL I.N’PÉURAL: 2^5
Pour passer de l’élément au volume lini, on remplacera a: en fonction de z d’après l’équation de la méridienne^ èlqon aura ; ' . - ' ,
Exemple. — Cherchons le volume total du tore. Nous le considérerons comme la différence de deux tranches terminées par les nappes extérieure et intérieure. L’élément sera alors
wfxj — x 1 )</z = *.(*» -H *1 ).(•*» — x,)dz.
Or la distance R du centre à l’axe est. la moyenne entre x, et x t ; donc X, -+- x, = 2 R. De plus x t — x, est la corde dudfcÿ^ " cercle, de sorte que (x, — x,) dz représente l’élément d S de sa surface. Il vient ainsi
2 jrR.rfS,
et en intégrant dans toute l’étendue du cercle»
2 7r R. S = 2 ît 2 R r\
Le volume du foi’c est donc le produit delà surface du cercle générateur par la circonférence que décrit sou centre.
2ÿÉ> ' J.IVIVE IV.
