ÉQÜATIQNS DU PREMIER ORDRE
. '247. Intégration par séries. — On appelle équation différentielle du premier ordre toute relation cplre une , . variable, une fonction et sa dérivée
Intégrer celte 'équation, c’est déterminer cette fonction inconnue y, ou au moins trouver une équation non résolue, mais de forme ordinaire, qui la relie à sa variable.
La seule mélhodb générale d'intégration consiste pour les équations comme pour les fonctions (198) dans l’emploi des séries.
Si nous développons, en effet, la fonction y diaprés la formule de Maclaurin (*■), il viendra en employant la. notation du § 101
(') Si l'application delà formule de Maclaurin rencontrait des difficultés» on se servirait de la formule de Ttgrlor eii faisant dam» les coefficients r = * au lieu de x = o.
■ ' - CALCUL INTÉGRAL. 29
il suffi! doue de trouver tous les coefficients de ce développement. Or, si on fait dans la proposée x — o,' elle
fournira f ~ I en fonction de r 0 . En différentiaut, on înl nx J 0
troduit et en faisànt X~— o, 1 qu!on déterminera dx‘ ’ \ dx ’ J» 1
ainsi en fonction de j’„ et » l 't> p al ' suite, de yo seul.
En différenttant encore, et faisant x~ o, on trouvera de
même | — ' 1 ; et ainsi de suite. Toute la' série sera alors
L^ J Jo
déterminée à l’exception de la seule quantité ro, dont rien au contraire n’assigne la valeur. Elle reste donc indéterminée et figure à l’étal de constante arbitraire dans le résultat. Ainsi Y intégrale générale d’une équation du premier ordre contient une constante arbitraire sous la forme
Si on attribue à cette constante des valeurs prises à volonté, on obtiendra autant d 'intégrales particulières.
' Exemple. — Pour montrer une application de cette méthode, je considérerai l’équation fort simple
En la différentiaut un nombre quelconque de fois, elle montrerait que deux dérivées consécutives quelconques v sont égales. Elles Je sont donc toutes à y lùi-même. Par suite, tous les coefficients de la série ont pour valeur y 0 , et
on a :
298 LIVHE IŸ.
c'est-à-dire*(io, p. 84) '
» y = Ce*,
. résultat facile à vérifier,
248. Séparation des variables. — Si l’on ne coiniuil pas la somme du développement auquel on se trouve conduit, la question ne peut être considérée comme complètement résolue. On a alors recours à d’autres méthodes qui sont d’une application plus ou moins restreinte. Leur principe général consiste dans la séparation des variables. On cherche à isoler dans chacun des membres tout ce qui se
' rapporte à chaque variable. L’équation prend par là la
forme « , ‘ •
.X tlxx=. Y dp,
X étant une fonction de .r et Y une fonction de y. On en tire pour l’intégrale générale
X dr~
car ces fonctions, ayant des différentielles égales, ne peuvent différer que par une coustante (484).
Quand l’équation ne se prête pas immédiatement à la séparation, on peut parfois l’effectuer par un changement de variables. J’en vais montrer deux exemples doués d’une très-grande généralité.
249. Exemple I. — Considérous d’abord l’équation homogène , c’est-à-dire celle
„ Nrf/ = o;
dont les coefficients M cl N peuvent être ramenés à ne dépendre que du rapport — ■ Si on pose
zdx -t- xifa,
CALCUL IHTÉGllAL. aj)^
M cl N deviendront fonctions de z seulement, et on aura
M dx -+- N ( 3 dr -H xrlz) = o , tir N
x SU 1 - N z
dz.
Les variables sont actuellement séparées, puisque M et-N ne renferment que z, et on a en intégrant
I,x — \ — rfî + iC»
’ ^ J M + Ns
équation où il suffira après l'intégration de rendre à z sa valeur--
2o0. Exemple II. — Considérons encore l’équation linéaire) c’est-à-dire celle où et — ne figurent qu’au premier degré, et sans se multiplier l’un l’autre. Sa forme la plus générale sera
ti y __ * • • •
Pet Q désignant des fonctions quelconques de x.
Nous- poserons • ...
dy
dv
du
en nous réservant d’établir enlre- tt et e telle relation que nous le jugerons convenable, puisque -lions introduisons deux quantités pour tenir lieu d’une seule. En substituant,
3oo
il vient
