ÉQUATIONS D’ORDRE SUPÉRIEUR

251. Intégration -par séries. — On appelle équation différentielle de l'ordre n toute relation

/ , djr d 2 jr

7Z7 V V’^ÿr )= 0

entre une Variable .r, , une fonction y et ses n premières dérivées, ou au moins la

O 11 pcàit encore développer la fonction inconnue par la formule de fylaclaurin. Si, en effet, nous faisons o dans

la proposée, elle déterminera j -~

en fonction de

•^>[Ê] 0 ’lë]„’-’ [^j/F'n^ffôrcnliant.on fora

, d**' Y r ■ ■ • rrf*+ l v“|

apparaître - et en taisant ensuite x s= o, | J^+i j f l lu

sera ainsi déterminé au moyen de toutes les précédentes, et, par suite, seulement des n premiers coefficients, puis* que le (« -+- i )‘ rm ' vient d’y être ramené lui-même; et ainsi de suite. On arrivera de celte manière à trouver tout le développement en fonction de ces n coefficients. Mais rien ne les' détermine eux-mêmes et ils restenCquelconques. On' voit par là que l’intégrale générale d’une équation d’ordre n

renferme n constantes arbitraires sous la forme

p { x »y* Ci) c,, c,,..., e„)=.o.

En déterminant toutes ces constantes ou une partie -seulement, on obtiendra des intégrales plus on moins particulières. ‘ v

'■ • Exemple. — Considérons l’équation

En la différentiant uti nombre quelconque de fois, elle montrerait que les dérivées qui se suivent de deux en deux sont égales et de signes contraires. De là deux séries de termes qui ont des signes alternatifs, et pour valeurs les uns y„

cl les autres f • La formule de Maclaurin devient ainsi

LrfxJ 0

1” fl y ~| i X X 3 ' * .r 5 f

L'êrJ 0 n 1 1 .2.'3..4.5

CAI. CUL INTÉGRAI..

c'est-à-dire (11 et ta, p. 85)

'y ±= C cosx H- C' sin r , résultat facile à vérifier.

252. Équations linéaires à coefficients constatas. — Lorsqu’on ne peut sommer les séries, la méthode précédente ne résout qu’imparfaitement la question, et il faut recourir aux procédés d’intégration proprement dits.

L’un des plus satisfaisants s’applique au cas des équations linéaires à coefficients constants, c’est-à-dire de celles où x ne figure pas explicitement et où y et ses dérivées n’entrent qu’au premier degré, et sans se multiplier. Le type le plus général de ces équations sera

dx"-

Ai

ily

ün peut, et il faut toujours commencer par faire disparaître le second membre. Il suffît pour cela de poser

En substituant celle valeur, la transformée en z lie dillère ([tic par l’absence du second membre.

, il H z -, il"T‘ z . tiz

(ç)8) A -j— -f- A, Aa i — -4- A n z-

ilx“~

tlx

C’est à cette classe d’équations que s’applique la méthode que je vais indiquer.

253. Elle repose essentiellement sur les deux principes suivants qui conviennent du reste à toutes les équations linéaires sans second membre, lors même que les coefficients sont des fonctions de x.

3o4 L1VJIE IV.

i°. Si Z csi une solution, GZ en est une autre. Eu etlet, tonte dérivée de GZ étant le produit par G de celle de Z, le résultat de la substitution dans l'équation ne diflèrc [tour Z ci pour GZ que par le facteur commua G. Si donc il est nul pour la première valeur, il l’est aussi pour la seconde.

2 °. Si Z' et Z" sont deux solutions, Z' + Z'' en est- une autre. En ell’et. toute dérivée de Z / -t-Z // est la somme des dérivées semblables de Z ' et de Z". Le résultat de la substitution sera donc la somme de ceux qu’on obtient pour Z ' et- Z" séparément, et si chacun d’eux est nul, il en sera de -même de l'ensemble.

Il suit de ces. deux principes que si on coiinait n solutions distinctes Z,, Z,,....Z„, ou en aura encore une autre dans l’expression

et celle-ci sera l’intégrale générale, puisqu’elle renferme n constantes arbitraires. »

251. La question est donc ramenée à trouver n solutions particulières de l'équation. Pour en obtenir, nous essayerons la forme analytique

dans laquelle in désigne une constante qui reste à notre disposition. Toute dérivée de celle exponentielle sera (il) son produit par la puissance semblable de in. L'exponentielle sè trouvera donc .en facteur dans tous les termes, et disparaîtra ainsi de l'équation. 1! restera seulement

Il suffit par suite de prendre pour m une valeur capable d’annuler ce polyuômc, e est-à-dire une de ses racines, ür il en a précisément n que je désigne par ni,, ni,, .., »/„. On

CALCUL INTÉGRAL

obtient doncà la fois les H solutions cherchées, et on a pour l’intégrale générale ’ •

(too)

Z = C, £*•* + C î e"* x -+-. . .+ Cnr"» 1

255 . Si les racines sont imaginaires, on peut néanmoins conserver au résultat une forme réelle. En effet elles sont alors conjuguées deux à deux, de telle façon que si on trouve d’une part a + b<J^-i oh obtient en même temps la racine a — b y/ — i. On a donc pour la partie qui se rapporte à ce couple de racines

(a-Hl\/-l)x [a~b^/-,)r

br sj - - l

== Ce

, -bx\fc 4- C f

ou, d’après la formule d'Buler ( 1 3 , p. 86),

e* x j c[cosé.r -+- y' — t sin bx\- f- C'jcosèr — y/ — i sin b.r || .

= (C H- C') cos bx -f- y/ — i (C — C) sin bx J,

et, en remplaçant les arbitraires C cl G par d autres K et K', (ioi) ; - (*"iR cos bx.-h K' sin bx).

250 . 11 se présente uue difficulté plus réelle lorsque l’équation renferme des racines multiples. Plusieurs ternies de l’cquation (too) se réduisent alors en un seul, et cette formule, tout en restant une intégrale de la proposée, ne contient plus n oonstantes distinctes et ne fournit plus dès lors l’intégrale générale. On peut cependant la compléter de nouveau de la manière suivante.

Désignons par f{m) le polynôme (99). Ou a vu que. h: résultat de la substitution de çT x à la place de 2 dans l’é-

3o6 LIVRE IV.

quation différentielle «si, quel que soit m.

d"(n mI ) . ille" 11 )

A"-*-; h A, — A„|. — - — -I- A/if"" 1

,W th?-' tir

== e mz .f(m).

Celle égalité ayant lieu identiquement pour toutes les \aleurs île /«, nous pouvons la différentiel' par rapport à ce paramètre (13). Or on aura pour un terme quelconque

dr 1 j

dm

d.d dm d ' ( xe" ‘ )

el, par suite, pour l’ensemble, ' '• ,

d“(. rc*“) d"-'(.rr"") . dirr’" 1 )

A ——— — -. -f A, ■ ' — - -f- . rt- A„, — — — ^ H A„ ..rc*"

*/.c* rfa" 1 c/.r

xd‘ x f{m) -I- c m, f(m) . ; ' - .

Supposons maintenant que ni désigne une racine double de l’équation ( 99 ), die annulera à la fois f (m) et f (m), et;, par suite, le second membre de celte dernière relation. ' On voit par là que le résultat de la substitution de xo"‘* à la place de s dans l’équation ( 98 ) est égal à zéro, ou que x c mx en est une solution particulière.

On reconnaitrait de même que si m désigne une racine multiple d’ordre -p ; e mr , xe?'*. x*e'"\ . sont des

solutions de l’éijuation; de sorte qu’on en aura encore une autre dans l’expression

ou

Ce" c'-rev .r'c" r -e . .+'(:> f”' r ,

C'a- + C"a 5 -+ . 4 C'f-O.rf ' • A -

v-, CALCUL INTÉGRAL. . ÔGj

Chaque racine d’ordre p introduit ainsi /> constantes arbitraires, de sorte que le nombre total de ces dernières se trouve rétabli et qu’on obtient encore l’intégrale générale.