TT» et en faisant ensuite x==o

(ÎX 3

.[SJ* [£1’-; [ë]; 0n Pourra, d'après cela, dé-

terminër ces quantités en fonction de y 0 , r 0 , . . . , w 0 et des premières, qui l'ont été elles- mêmes en Jn ~o> - • et

ainsi de suite. On connaîtra de cette manière tous les développements, à l’exception du premier terme qui restera arbitraire pour chacun d’eux.

On voit par là que le système des intégrales générales de n équations simultanées du premier ordre entre n fonctions renferme n constantes arbitraires. Si on en détermine à volonté un certain nombre, bn aura des intégrales plus ou moins particulières. • ... .

Exemple. — Considérons le système très-simple

. (Ij ' dz- . " ■ ", . -

. " v itx ~ ’ ' tLi - ;

258. Intégration par fériés. — - On appelle équations simultanées du premier ordre un système de n équations entre une variable x, n fonctions y, z, . . . , u de cette

variable, et leurs premières dérivées xl.

dx dx % dx

On peut encore trouver le développement de ces fonctions en série, en cherchant successivement tous les coeffi- ’ cients de la formule de Maclaurin appliquée à chacune d’elles. Si on fait pour cela x = o dans les n équations,

elles fourniront les n valeurs de »•••» F— J r

en fonction dey,,, w«. En diOercnliant on fera appa-

3 lO llVRE IV.

Si on différence ei qu’on fasse x =. o, il viendra

[ë].Hsl=-- [£].= [£].==•

En différen liant ensuite un nombre pair de fois, on reconnaîtrait que toutes les dérivées paires sont égales, pour chacune des fonctions, à la fonction elle-même. En.Sifférentiantau contraire un nombre impair de fois, on verrait que les dérivées impaires sont égates pour chacune des fonctions à l’autre. De là les deux développements

. . r.* jt»- i :

11 est facile d’y reconnaître lès expressions suivantes.

ou encore

et enfin simplement • ■ r ■ ■ ' , •

. . y — C/. T + c'c~ x , z — ce — c'«r'. ^ -

2o9. Ou appelle éf/natio/is simultanées (Y ordre supérieur

CALCUL IRTÉCRAL. , 3 I I

un système de n relations établies entre une variable x. n fonctions^, z ,. . ,, « et un certain nombre de leurs dérivées, à savoir/» pour j', <7 pour r pour «. L)e

« elle manière chaque équation peut renfermer

df-'y

dry

dx *

dx 1 1

1 dxr-' ■

dxr

dr 1 z

dlz

dx *

‘ djd->’

tLz'l

du

di'

dx»’ '

■ dx r ~‘ ’

dx 1

mais il. n’est pas nécessaire que toutes ccs-quantités figurent dans chacune d’elles.

On peut toujours ramener un pareil système à être du premier ordre, en employant à la vérité un plus grand nombre de fonctions. Il suffit pour cela de poser

dy

dx J \

*fyCp—7

dx

dx

rtz

dz’ „ *■ ’

dlq-i

dx~

dx '

du

du? „

du r—î

dx

dx

Alors les équations ne dépendent plus des quantités précédentes, mais de - • . ‘ !

•Ml,

dx

(faq.*,

dtt - r — 1 ikr

3 1 3 . Ll VUE IV. . ». •

Elles sont évidemment du premier ordre, ainsi que ce) les que nous leur avons adjointes. • ,

Or nous avons introduit p — t l'onelions et autant d'équations à l’oeeasion de y, J{ — t pour z,.. . r — i pour m,

c’est-à-dire. en tout p 4- q r — n. En leur adjoignant

les // proposées, on a en tout p 4- q -t- . . . -4- /• fondions et équations. Un pareil système' renferme dans ses intégrales générales p q- q - r constantes. Mais il est équivalent au proposé. Donc un système quelconque d’équations simultanées contient dans ses intégrales générales 'un nombre de constantes arbitraires égal à la somme des ordres de difr férüntiation les plus élevés de ses diverses fonctions.

On remarquera que les formulesxjüe nous avons introduites sont toujours les mêmes et aussi simples que possible. Elles sont évidemment linéaires et coefficients constants, de sorte que si les équations proposées sont aussi de cette forme, il en sera encore de même du sys- -lème transformé. Il existe pour l’intégration de semblables équations une méthode générale que je vais faire connaître. '■ ....

260. É/pintions siiiiiilttuiécs linéaires à coefficients- cdnslanls. — On jiont toujours, pour plus de simplicité, supposer lés équations résolues par rapport aux dérivées sous'

là forme . '

. ‘..r étant la v«q ia'ble ’d. » , . t,.' ■■■ r Jt

jys ,.a 'fondions

rorinucs. *

’ CAI. Cl; J. 1KTÉGAAL. 3 1 3

Nous pouvons d’abord^ faire disparailre les ternies constants. Il suffit pour cela de poser

■ 4 4“ X‘, ) y 2 — 4 4~ X'| 2 • • • f Xh = — 4" X'q >

en déterminant k \ , A s , . . . , X„ par les relations du premier degré > ^

• A'' Xi 4- AJ' X, . 4- A" X j 4*- • •+ A* X„ 4-B"' = o,

A| * Xi 4 - A j "! X, 4-, *Xj 4-- • . 4 - A^ X«4- B(") == 0- Les équations se réduiront alors à