IX

et il suflit d'intégrer ce nouveau système.

Pour cela nous ferons ' ,

Après la subsljtulion l’exponentielle subsistera dans tous ■ les termes et pourra être supprimée. H restera.

mhy = À' h x + A^/fj -+- A' -H. . . 4- A' //„,

////?, — A 'I A| “HA, iî ■+* A'' // 3 4~ . . *f» À" //,,,

■ • . wÀ„ — A|" ! À, >' A<"' A.. 4 ' A '”’ //• -I . r- A,."’ •

LIVÏIE IV.

)1 suffira doue, pour qne les expressions précédentes soient des solutions particulières, que leurs constantes saiisfas-sent à ces conditions.

'Si nous faisons pour un instant abstraction de m, les équations deviendront du premier degré par rapport à /<,, h t , /ij, sous la forme

(A* — mj/i, -4- A' //,. -H A' A, -4-. .. -4-A^ A* — •*,

A" A, - 4 - (A" — ni) h, +• A" h y -H. A" A„ = «,. K h < -h K h ‘ -*- ( a; — «r 4- a; ■/,„ =- o.

• A';" 0 A, -4- â'"' A, -I- A,"' Aj-t-. . .-h (Al" — m) /*,== o.

Elles sont au uombre de /i entre les n inconnues //, , h t , //j,... /»„. Mais puisque les seconds membres sont nuis, elles n’eti peuvent déterminer que les rapports. Elles doivent donc donner pour les inconnues elles-mêmes des valeurs indéterminées, et pour cela il faut que le dénominateur commun soit nul.

On sait former ce dénominateur et on obtient pdf là la condition que doit remplir la quantité m qui y figure. Or l’un des termes de ce polynôme renfermera le produit des n coefficients V \--f ’ ■ ••

. A’— /», A" — ru, A'" — ni, ... . , A

c'est-à-dire que l'équalioiven m sera du n‘ è '" r degré, car aucun autre terme ne renfermant m", cette puissance ne pourra disparaître. On obtiendra donc pour celte, inconnue «valeurs ’ .. .. .. . -

ni , m" , m"' , . ni"’' 1 . -

(•/ Je die m’a riôlo*j»n» au csisr racines étfUles.

CALCUL IXTÈG UAL. ' 3 l5 '

Les équations (io 3 ) permettent alors d’exprimer, et cela d’une seule manière, les ‘coefficients A,, ou plutôt

leurs rapports, en fonction de ni. On aura ainsi [tour chaque valeur de-zn un système de solutions que nous représenterons de la manière suivante, en mettant en évidence un,

Coefficient indéterminé * . . .

C'A', ' C' //, C'/é, .. , C'A' pour»/',.

G" a;', Ch", Ch",";..., C,"A'' po

‘V Ct”)A 3 '" ! ,. Ct'Oi** 1 pour »/<*>.

Il résulte de là les systèmes suivants d’intégrales particulières des équations ( 102)

z, '== ! C' AJ £*•'* I C "A;v»‘ f ; CClA^e» 1 ''

t | zj— 1 C' A' c " 1 C" A'' tf“" z ...

\ == j c' a; e" jr c"A" c”-' 1 . . . \ et») a;'*' c- 1

On en déduit, comme au § 253 , les solutions

a, — ca; c" * + c/r t"'*. . . + ct«f£j! ,) c* (i,) *,

Or elles contiennent n constantes arbitraires, Ce sont dune les intégrales générales des éqoations (102).

XlVRE IV.

-tH . Exemple.^ — Considérons le système

' ffzs • . tlz,

— = Zt+ z,,

l' ornions les équations transformées

W«| si fl| -f- //}, wz/f^s: //, — fij,

ou

La réduite en ;n sera

— .( 1 — '" ) ( i rf~ '" ) — 1 = *> »

On a ensuite

ee qui permet de prendre

et par suite

' /i" = i , //'' = — \Za — i ■

()u obtient ainsi les intégrales générales

. *, = €e^ r +CV^Y •

. . ; , Ï,= (V 2 — 1)06^— (v/â.4- i)C'c 7 ' cV î'.

CALCUL INTÉGRAI..