INDÉPENDANTES

2(12. Fonctions cle deux variables. — Nous savons trouver la différentielle totale de toute fonction' u de deux variables indépendantes xélj

La question inverse consiste à déterminer », connaissant sa différentielle

- ela — Xrlx -\- Ydy r

dans laquelle X et Y désignent des expressions connues qui dépendent toutes les 'deux de x ctdej'. ' ■

La solution n 'est possible qu’aulanl que les deux cocfficienls remplissent ut\e- condition. On doit avoir en effet pour identifier les deux valeurs de du ' . ..

On en déduit

3l8 * ; 4-IVBE u : ’

car ces deux expressions reviennent à ^ j • Si cette condition n’est pas remplie, il est inutile de chercher la fonction u, qui glors n'exis'le pas. Si elle a lieu, on. peut toujours ramener le problème à l’intégration ordinaire.

En effet, puisque X est la dérivée de u prise par rapport a x, on a, en donnant pour plus de clarté. à l’intégrale des' limites, du reste quelconques,

« = | -Xi/.r + i 1 . w

Dans cette expressioti y désigne une arbitraire. Ce n’est pas nécessairement une constante, et elle peut dépendre de • y d’une manière quelconque, car çl le n’en aura pas moins par rapport à x une dérivée partielle nulle. Pour déterminer y nous avons encore la seconde condition, à savoir que

la dérivée de u relative à y soit Y. On a

ou, en différentiant sous le signe d’intégration, puisque les limites sont indépendantes dé y (21 -4),

; " ÿ - S-I' (f i .* =C =tï1 '. =ï ~

’ ' en désignant par Y 0 lé résultat de la substitution dé x„ à la place de x dans Y. Ou tire de là

. • ,iÿ . •• - :

yt. , •• ■ ’■ - - r ■ '

. v . , CALCUL ISilÉORAL. 3 I i)

pirprpii.ini encore des limites quelconque», et par suite.

(io4), ' „ = 1 x,u-h f Y.rfr + c;

l'\ ' r v-r. jÇr,

-6-i. Exemple. — Considérons l’expression

, rdy — yd.r du = — — ,.

la condition d’intégrabilité