I. Ax'-h.y

dx

)V (iMM) =

/, . \ <!y J (V-hj*)*’

étant identiquement remplie, on a (io4) et (8a, p. 2 a~)-

- ; «- / '-rrs^ ( -7^'0 -bc.

' = | — arc tatig -+- jjirc tang | -h C ' ■ >

*=•— arts tant; - arc tang — -4- arc lang arc tarie ^4 C .

Or le second 6t le troisième terme désignent des arcs dont les tangentes ont pour produit l’unité, ils sont donc complémentaires et leur sommet peut être comprise ainsi que le*

quatrième terme dans la constante arbitraire, ce qui donne simplement . .

u = C «— arc lang -• .

126 i. Fondions du trois, variables. — Supposons tiiain-

3'iO I.1VHE-1V. v , -

ienant une fonction de. trois variables indépendantes

’*» Jr •?.

“ . </u ~ X <lx -f- Y dy Z riz • •

Celte expression représentant la différontiellc totale ’

on doit avoir, pour que le problème admette une solution,

d’où l’on déduit identiquement

,,ra = /?uaja rsWfs

V r/ / / \ dx

tlz J \ f // / \</.r y

Si ces conditions sont remplies, on peut encorc’ramcner la question au calcul intégral ordinaire.

En effet, puisque la dérivée de a relative h x est X, on a

H — I Xr/x -f n,

mais v peut dépendre de y et z d’une manière quelconque «ans que sa dérivée relative à x cesse d’étre nulle. Pour déterminer r, nous avons les deux autres conditions

CALCUL INTÉGRAL'

et, par suite,

en désignant par Y, et Z 0 les résultats de la substitution de .r„ à la place de x dans Y et Z.

On tire de là - . ...

«, par suite, ’ ' '• /-

d, ‘ ~ (^) dy ^ Y,djr ~ h Z>,h '

formulo certainement intégrable (262), puisque nous supposons remplie la seconde condition (to 5). On aura ainsi, d’après' la formule (io4), • ' - . • '

f y Y,dy-h f Z„rf: + C, ..

*Vu . *A»

en désignant par Z„ 0 le résultat de la substitution de y 0 à la place de y dans Z 0 ou de x 0 et y 0 à. la place de x et y dans Z. En reportant celte valeur dans celle de u, il viendra enfin . „ -

/•Jf r*y T*.

j « = I X d.r -f- / tiy -f- I Z„ di -4- C .