Exemple. — Considérons l'expression

• du -t^i ) dx * (»“?) IjrJh (*~*) dt \

32 a ' i,tv ive iv. j - .

Les conditions tl’in tégrabilild sqnt évidemment remplies. Qn a donc • ‘ . - ■

“■jf.

= {1 + *]; + i-f + j],' + Ei- + T].-T c ;• - •;>

\ .r„ s / Vr* z„ ' r

mi,' cü effectuant toutes les réductions,

U =î= 1 rh'-i + - 4- C'.-

Fonctions de plusieurs variables — J)e même qfte nous avons -ramené le cas de trois variables à celui de deux par le mqyen d’ünc fonction e qu’il faut ajouter à '

J X dx pour obtenir u ; de même on passera d’un nombre

quelconque de variables à une dé plus'..'

On aura pour une fonction u '

^ il u = Tidx H- Y (ly -+-J6 ilz + T /If -+■. . . . ,

de n variables .r, j', 3,- . . , des conditions de la forme

en envisageant deux termes quelconques de la formule ... -+• P dp + + - . . ,

.. ■ . . CAI.CIIL IM ÉÇJIAb.' 3a'i ’

Lteur nombre émut évidemment eclui des combinaisons de

n quantités prisés deux à deux, sera égal à — — - — — et croi-

tra rapidement asce celui des variables.

Lorsqu'elles seront toutes remplies sans exception, on aura la formule » ' • . "

a — C -f- / Xf/.r.-i- I X „ dy -f- . I Z M f/z -f- j

Jr u V// J Jt m

Twip^ “f* . . .

daijs laquelle V„ Z„„, T #0 „. . . désignent le résultat de la substitution dans Y., dans Z, dans T,.. • ‘le -Tu) utf •

de x # , /„ . à la place dc-.r, de x, jr, de x, y s et

ainsi de suite. i ' •

Il .est très-utile de disposer dans chaque cas particulier «les limites x„, pour simplifier autant que pos-

sible les calculs. On en Va voir un exemple.

'SWÎ7.. . Exempte. — Soit I expression ... ,

' ■ tti) == (/ -t- z -f- t )dr -t- (x + *-+- f}rfr [x y t) riz

— t- ( x -t- y -t- z ' dt .

Les six conditions d intégrabilité se réduisent toutes à t = i . Si lions prenons partout pour limite inférieure zéro, la quatrième intégrale disparaîtra complètement el les autres se réduiront ainsi

u j ( y -t-'z -t— / ) dx q- j ( z »4- t ) ily -t- j / flz -t- C

â/O' • . *zo «/o

- • ^.(/ + s+t)j''+(î + /)7 + lî + C,

ou soiis une forme symétrique

a « =. >'.+.* •+ f) -t- y {.r + je f ) -t- s (x -+- > + /) •

Ce résultat eut exigé des calculs beaucoup plus longs, si on avait employé des limites quelconques.