VIIE I
C’est là évidemment un (ait général. Suivant que la fonction est croissante ou décroissante, qu&nd la variable augmente, leurs dillcrcntiellcs sont de même signe ou de signes contraires, ce qui revient à dire que la dérivée est positive ou négative. i
Produit. — On a pour le produit
dr
y — nu-,
: ni (.r-f-rf.r) — nix — nul. h .
•lusqu'ici nous u'avoqs rien eu à négliger, c’est-à-dire que les formules seraient encore exactes pour des accroissements finis. Il n’en sera plus de même des suivantes. “
■ Rapport . — Si on prend le rapport
dy =
dx
— nid. r
.»• [x 4- dx)
comme dx se trouve au dénominateur devant .r, on peut l v négliger Pt il reste
mdx
dr =
13. Puissance cl racine. — On sait par l’algèbre que ces deux fonctions n'en fout, à proprement parler, qu'une seule, lorsqu'on regarde l’exposant comme susceptible de recevoir toutes espèces de valeurs. Je distinguerai, à ce sujet, plusieurs cas :
i". Exposant entier et positif. • — Prenons
dy = (x -+- dx)"' — x".
Lorsqu’on forme les puissances successives de x -+■ «,’on reconnaît n lenr seule inspection -que le premier terme est
CAl.CUL DIFFÉRENTIEL.
pour la in"'"''. .r"‘, le second ma'" 1-1 «, et. que tous les autres renferment en facteur a', a Nous pouvons donc écrire (’)
!jc 4- dx) m = .r* 4 - inx*~' dx 4 - A ffo’ 4- B dx' 4- . . . .
Si on fait passer x dans le premier membre, il viendra, d'après l’équation précédente,
dy — mx*-' ' dx 4- A dx' 4- B dx' 4- . ■ ,
et en négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur,
dy — dx.
■2°. Exposant entier et négatif. — Résignons par n un nombre entier et positif, et posons
on en tire
Cqlte relation a constamment lieu entre x el^- Elle est encore vraie, par conséquent, pour des valeurs infiniment voisines. Si donc les deux membres qui sont actuellement égaux ne cessent pas alors de l’être, c’est qu’ils reçoivent des accroissements égaux. Substituant à ceux-ci les différentielles, nous pouvons de l’égalité des deux membres déduire celle de leurs différentielles. C’est là un fait général, et lorsqu’une équation a lieu pour toutes les valeurs de la
(*) On remarquera que nous n’invoquons pas ici la théorie des combinaisons. De sorte que la formule du binôme de Newton que nous déduirons plus tard du calcul différentiel et pour un exposant quelconque se trouvera établie sans le secours de cette théorie, qui pourrait én quelque so^te s'en déduire inversement.
