LIN HE I
variable, on peut en déduire l'égalité des dillércnliclles de ses deux membres : c’est ce qu'on appelle diffèrent ier l'équation .
Or ici nous connaissons les différentielles des deux membres. Car - est un rapport et x" une puissance entière et positive. 11 vient ainsi (12)
d’où on lire
il) “ — ny , .r n ~' il. c — — nx~" 3 " ,r "~ 1 tl.r — — nx~*‘ + "~' dx — — n. r "" -1 tlx — mx*—' dx.
Nous retrouvons donc, pour ce second cas, la même formule que pour le premier.
3°. Exposant fractionnaire. — Je désigne par /> et q deux nombres entiers positifs ou négatifs, et je pose
En élevant les deux membres à la puissance q , r» = xP.
Nous sommes, comme tou jours, en droit de différentiel' cette équation, et de plus en état de le faire, car les deux puissances sont entières et la règle- est maintenant indépendante du signe de l'exposant. 11 vient par là
On en tire
^ p xP~‘ J p rP~
<]y1~' dy =r pxP~' dx.
dx
il— 0
— — x dx — x. dx =r ni.v m " 1 dx
CALCUL DIFFÉRENTIEL
La règle convient donc à toutes les valeurs de l’exposant.
Si, au lieu de la différentielle, nous cherchons la dérivée, il vient
dy
dx
et, par suite, la dérivée d’une puissance s’obtient en multipliant par l’exposant et diminuant celui-ci d’une unité.
Exemple. — Appliquons, en particulier, à la racine carrée
y = jx = x 1 ,
> - , ' 2 ' . i 2 , dx
riy = — x a x = — x d.r = ,
2 2 2 \Jx
de là celle règle spéciale. La différentielle d'une racine carrée s’obtient en divisant la différentielle de la quantité soumise au radical par le double du radical.
