Exponentielle. — Prenons maintenant l’exponentielle

dy — e ,+dl — e* = c* e** — c* = e* («* — i).

Je considère à part la parenthèse

On déduit de là

puis, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,

dx = L ( i «) ,

Or flx est infiniment petit, c’est-à-dire infiniment près de zéro, par suite e Jx Test de e° ou de l’unité, et enfin e dj — i de zéro. Donc a est infiniment petit et on peut le considérer comme tendant constamment vers zéro. Dans ces conditions, la théorie ordinaire des logarithmes enseigne

que l’expression (i -+- a) K a une valeur finie qui est précisément égale à e, et qui forme la base dju système népérien. On a donc simplement

et en ditisaul membre à membre,

dx L (i •+- a)

e‘ lr — i a

Le= i.

t 4 ’ — i — dx ,

et, par suite,

dy — e 1 . d.r.

Si, au lieu de la différentielle, on prend la dérivée

fiy

on obtient cette règle très-simple : L’exponentielle est ellemême sa propre dérivée.

Logarithme. — Si l’on pose

y=Lx,

on en déduit, en prenant l’exponentiellê des deux membres,

dillércntiant celte équation d'après la règle précédente : <~r . /tj — dx.

CALCUL DIFFÉRENTIEL

d’où

( j dx

eT x

1 5. Fonction trigonométrique. — Oii a pour le sinus y = sin x,

rfr = sin (x -+- dx) — sin j = cos. r sin dx -h sin x cos dx — sin j:

Or dans le premier terme sin dx peut être remplacé par d.r, car le cercle étant normal à son rayon, l’élément d’arc dx considéré comme rectiligne sauf des infiniment .petits d’ordre supérieur se confond avec, son sinus. Pour celle raison cos dx, qui n’est autre que y / 1 — sin’ dx, peut être remplacé par V i — dx* ou par l'unilé. Alors les deux derniers termes sc détruisent et il reste

i ly — cos x . <ix.

Si on prend la dérivée

(fy

= cos.r.

La dérivée du sinus est le cosinus.

Fonction circulaire. — Si on pose

y — arc sin x,

on en déduit, en prenant le sinus des deux membres, sin y = sin (arc sin x) = x, et en diflérenliant -d'après la règle précédente : cos y . dy — dx,

! d.r d.r. dx

cos i y i — sin 1 y - \j i — x-

11 reste à nous fixer sur le signe de cette diflcrcnliclle,

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ou à savoir (12) si la fonction croit ou non en même temps que sa variable. Or d’après nos conventions (2, note 5) la fonction circulaire se rapportant à l’arc du premier quadrant positif ou négatif, varie dans le même sens que la variable et a par suite une dérivée positive. La formule est donc

CALCUL DIFFÉRENTIEL