RÈGLE GÉNÉRALE

16. L'artifice qui sert à former toutes les fonctions possibles à l’aide des précédentes esl très-simple. 11 consiste à remplacer les lettres dont elles dépendent par d’antres fonctions simples ou en particulier par la même, et à répéter au besoin plusieurs fois cette opération. Par exemple, si dans Lx on change x en sin x. on forme la fonction complexe Zsinar. Si on remplace encore x par ^x, onobtient Zsin \Jx, et ainsi de suite.

Les fonctions complexes se rangent d'après cela en deux catégories distinctes, suivant qu’on ne remplace que x ou bien.à la fois tn et x. Les premières sont appelées fondions rlc fondions et les autres fondions composées. Wons nous occuperons d’abord des fonctions de fonctions.

17. Je supposerai une expression formée par la superposition de quatre fonctions simples seulement. Mais il sera facile de voir que la méthode suivie est tout à fait gé nérale. Soit donc

1 '\f, ip, <p désignant des fonctions simples, c’est-à-dire de celles que nous savons différentiel* ou dont nous connaissons les dérivées L‘ v , f \ <p', <J/.

Si F, au lieu de porter sur une expression compliquée, dépendait directement de la variable, la difficulté disparaîtrait. Or rien ne nous empêche d’introduire une variable auxiliaire u qui désigne la quantité subordonnée à F,

alors y prend la forme

et devient fonction simple de u, tandis qu’il était fonction complexe de x. Nous saurons donc dillêrenlier sous la forme ( 1 p. 1 4)

dy = F' ( it) du.

ou, en rendant à u sa valeur,

Le premier facteur est entièrement déterminé, puisque nous connaissons F'. Il reste donc à trouver du \ c’est-Jt-direque nous sommes encore ramenés à dillêrenlier une fonction de fonction. Mais la question a évidemment fait un pas, car u n’est formé que de trois fonctions simples, au lieu de quatre.

Raisonnant de même, nous sommes conduits à représenter par une nouvelle variable auxiliaire e la quantité dont dépend f.

ri devient alors

d’où, en diffère» tiant,

c’est-à-dire

du =./' {v)dv.

du — f [y (iji.r )] - dv

iN^ous sommes de nouveau ramenés à connaître d\'.

CALCUL DIFFÉRENTIEL. 25

Pour cela je pose encore

IV — ÿx,

el il vient

tlv = a' (»•) dw= tf' ( J«r ). tiw.

Quanta rfw,- nous l’obtenons directement, parce que nous sommes enfin arrivés à une fonction simple de x,

rhv == iji' x . i/x.

Si maintenant nous substituons successivement les valeurs trouvées, il viendra

On voit par là que, pour avoir la dérivée d’une fonction de fonction, il faut prendre la dérivée de la première fonction composante et la faire porter sur tout ce dont dépendait cette fonction primitive, puis multiplier parla dérivée de la seconde fonction composante portant sur la quantité subordonnée à cette seconde fonction primitive, et ainsi de suite jusqu'à la dernière fonction simple composante dont' la dérivée forme le dernier facteur du produit.

On remarquera l’analogie de cette opération avec l’évaluation numérique (3) qui ne comporte que la répétition dedix règles toujours les mêmes.