EXEMPLES
18. Il est bon, lorsqu’on n’a pas encore l'habitude de la différentiation, de traiter les premiers exemples avec tout le développement de calcul que nous venons d’indiquei’.
saul' à s'affranchir plus tard de ces longueurs. C’est ce que je ferai ici.
Exemple I. — Prenons (2)
r = arc cos x = arc sin .r.
Je pose d’où
dillércntiaut (12), on a ensuite ( 15)
u = arc sin x ;
dy = — du ;
- dx
du —
dy =
On obtient donc la même différentielle pour les deux fonctions arc sin x et arc cos X\ le signe seul les- distingue l’une de l’autre. Ce fait s'explique naturellement en ce que leui somme étant constante et égale au quadrant, l’une doit diminuer de la quantité dont l’autre augmente.
Exemple il. — Soit maintenant (2)'
y — log x = log e. L. r, u = Lx, y — u . log c , dy = ilu. log c,
CALCUL DIFFÉRENTIEL. • 10
11 ne faut jamais oublier dans la différentiation d’un logarithme ce facteur log e qu'on appelle le module du système et qui n’est l’unité que pour les logarithmes népériens. Sa valeur est pour le système décimal : o, 434'2y448-- ••
Exemple 111. — Soit de même (2)
y=„d = e xLm , n — x Lm, y = e“,
dy = <?“ du — e xLm . du = ni*, du, du—, d.r L m , dy = w* . Lm. dx.
11 ne faut non plus jamais omettre dans la dilléreiiliaiiou d’une exponentielle à hase quelconque de mettre eu facteur le logarithme népérien de cette base.
19. Exemple IV. — Prenons encore (2) y — cos x x= y i — sin’ x.
iNous poserons d’abord (13)
n = i — sin-' x ,
dy = ' lU =
du
du
ensuite (12)
r>. \J u y. v/ 1 — sin'.r 2Cosx
i’ = sin 3 x, u — i — v, du xx — ilt‘ ;
en troisième lieu (13),
•e = sin x, v = <e ; ,
dv — î. U’fhv = S sin-x . div ;
enfin nous aurons directement ( 15) f/w z= cos xdx\
puis, en substituant de proche en proche,
( a ) il y = — î — . ( — i ) . a sin x. cos xdx,
a cos x '
et, en simplifiant,
ily = — sin xd.r.
Si l’on éprouvait quelque scrupule pour le signe, à cause du radical que nous avons introduit, il suffirait de remarquer que le cosinus étant une fonction décroissante, sa différentielle doit bien être négative.
On voit par cet exemple comment une fonction fort simple peut engager dans des calculs extrêmement prolixes dont il importe de nous dégager dorénavant. On raisonne pour cela directement de la manière suivante : y se trouve donné par un radical carré j i — sin’xdonlon obtiendra la différentielle (13) en divisant par le double du radical
( ce qui donne le facteur — , ‘ = — - — | la diffé-
\ 2^1 — sin 3 -r acos .rj.
renlielle de la quantité subordonnée i — sin’-r; celle-ci est une différence dont la différentielle est (12) sauf le signe (ce qui donne le facteur — i), celle de la quantité retranchée sin’ x. Celte dernière, étant un carré, a pour différentielle (13) le double de la racine (d’où le facteur i sin j:) multipliée par sa différentielle. Comme il s’agit enfin d’une fonction simple, nous obtenons immédiatement (15) le dernier facteur cos xdx. On retombe donc directement sur l’expression ( 2 ), qui se simplifie ensuite comme on a vu.
Connue le cosinus est une fonction importante, j'indiquerai encore la méthode la plus directe pour sa différen-
CALCUL DIFFÉRENTIEL. 29
liation
y — cos x = sin | ï — .r^ ,
dy — cos I — — x \ • ( — dx) — — sin xz/.r.
20. Exemple V. — Prenons encore quelques exemples pour les traiter directement. Soit
y = sec x —
eos x
Cette expression n’est pas encore réduite aux fonctions simples, mais il est inutile de compliquer davantage. Il suffit de ramener à une fonction que nous sachions déjà différentier, sans nous préoccuper de ce quelle est ou non de celles que nous sommes convenus de regarder comme simples. On. aura de celte manière (12 et 19)
ely —
d cos x siij xdx
cos 5 x COS 5 x
Exemple VI. — Considérons 13 fonction des tables trigonomélriqiies (18, Ex. II et 15)
y — log sin x,
d sin.r co%x.dx
dy = —, log cz= — ; log c — cot .c.logc.c/r.
sin x sin x
Exemple VII. — Soit enfin
nous aurons en traitant cette expression comme une exponen tielle (1 4),
on a de même
et par suite
e ex
C € e .<(JC.
Ün trouverait une formule toute semblable pour un nombre quelconque d’exponentielles superposées.
CALCUL DIFFÉRENTIEL
