REGLE GÉNÉRALE

21 . Je supposerai quey soit composé d'une manière quelconque avec u, e, tv, ce qui s’exprime ainsi

y =/(«> ", tv )-

Je ne suppose que trois de ces quantités auxiliaires, mais il sera facile de voir que la démonstration est indépendante de leur nombre. Elles représentent ici, soit des fonctions simples, soit des fonctions de fonctions de x, en un mot des quantités dont nous sachions déjeà calculer les différentielles du , dv, d\v en x et d, r.

De plus, je suppose qa’on les a assez multipliées pour que y dépende lui-même de chacune d’elles, à l’état de fonction simple ou de fonction de fonction. La question est alors de trouver dy.

L’accroissement de y sera exprimé par

dy — f(u 4- du, v -t- dv, iv ■+- div) — f.(u, v, «') ; ce que je mettrai sous la forme équivalente

dy — \/{u -t- du, i> -t- dv, IV -f- div) — /{u, v dv, tv -t- <■/«■)]

+■ [/{«, " -H dv, re 4- div) — /(«, tv du')\

Si nous lie considérons d’abord que la première partie, ou voit que les deux dernières fonctions n'y entrent que par une seule de leurs valeurs v -h dv et tv -(- dw. dv et dw n’y figureront donc jamais que devant v et w et pourront par suite être négligées en présence de ces quantités finies. Nous ne sommes pas autorisés à agirdc même pour du f car rien ne prouve (et c’est même le contraire qui a lieu) que les termes finis en u ne disparaîtront pas dans la soustraction, attendu que cette fonction n’entre pas par une seule de ses valeurs mais par u -f- du dans le premier terme et par u dans le second. Profitant donc des simplifications que nous sommes endroit défaire, nous écrirons ainsi cette première partie,

(4) /(« -H du, (-, «■) — /(«, «>, «-)• •

En traitant de même la seconde par rapport à w>, nous réduirons ainsi l’expression,

dy =[/(«-+- dit, v, w) — /( «, V, te) ],

-4- [/( «, " ■+■ dv, iv) —/{u, v, »)1,

+ [/(“> w + dw) —/(a, v, «<)].

22. Acluellement je reprends la considération dé la première partie (4). S’il était possible que u variât seul, sans que f et w changeassent de valeurs (ce qui n’a pas lieu en réalité, puisque toutes les trois dépendent d’une même quantité x) ; cette différence représenterait évidemment l'accroissement ou la différentielle dé la fonction f ou y. C’est précisément parce que ce mode de variation n’est pas admissible au fond que cette partie ne constitue pas à elle seule toute la différentielle cherchée, mais doit être pour cela accompagnée des deux autres. Tou jours est-il que si nous nous plaçons en connaissance de cause à ce point de vue, nous obtiendrons par la différentiation, celle première par-

CALCUL DIFFÉRENTIEL

lie. Fl nous serons en état d'effectuer cette différentiation ; éàr par cela même que pour le moment nous avons oublié la véritable nature de v et w, eu les traitant nOn plus comme des fonctions de :r. mais comme des constantes, J n’est plus censé contenir X que par u et alors cesse d’ôlre une fonction composée de plusieurs autres pour devenir uhfe fonction de fonction de « et par suite aussi (Je :r.

f.a différentielle calculée à ce point de vue, purement •ictif dans, le cas actuel, s'appelle différentielle partielle, relative à t/, et nous la désignerons avec F.nler par (')

Le premier-facteur est la dérivée patticlle relative à n.

Je viens de montrer que nous saurions la calculer. Ouant ■ à du, c’est une différentielle de fonction de fonction qui, cômme j’en ai prévenu dès le début, nous est également connue. Ainsi ce terme doit être considéré comme complètement déterminé.

Kn raisonnant de même pour les deux autres parties, uous obtiendrons l’expression complète de la différentielle

.Cette formule est fondamentale pour lé calcul différentiel e té v i denrmeirti n < 1 é pond a n l e d u nombre des fonctions u,v, tu, dont y est composé.- ,

(‘>11 est bien important, au moins dans la commencement, de conserver les parenthèses ot surtout de né pas simplifier sous la forme dy en suppri*. mont haut et bas le facteur du. On n'a pas en effet la dy, comme j'ai eu soin d'y insister, fnais seulement une do ses parties, qu'on pourrait désqpicr par d u y, mais qu'il est préférable Hfe réprésénler à la monicre ordinaire.

S4 I.fVBF. I.