FONCTIONS DONNÉES PAR UNE ÉQUATION

36. Supposons en second lieu que la fonction i/, au lieu d’être donnée directement, soit liée à ses variables x , r, z,. . . par une équation non résolue,

Il nous suffira, pour traiter ce cas, de combiner l’emploi des deux artifices qui nous ont servi pour les fonctions implicites et pour les fonctions de plusieurs variables.

Imaginons une variable auxiliaire 1 et faisons-en dépendre x,y, £,..., d’une manière qui reste indéterminée pour conserver l’indépendance, w, qui èst fonction dex, y, z,.'.., devient par là fonction de t.f, envisagée en elle-même et indépendamment de la condition précédente, devient ellemême une fonction composée de t. A ce titre elle a une différefttielle qui s'exprime par

il U.

Mais celte fonction doit rester constamment nulle. Donc ou a

équation qui nous fournit la valeur de du,

Il resterait à substituer dx, dy , dz,...,e n t et dt, ce que nous nous gardons de faire pour ne pas détruire l'indépendance.

CALCUL DIFFÉRENTIEL. 53

Nous considérons au contraire dx, dy, dz,. . . r comme des arbitraires, et alors l’expression précédente nous fournit la différentielle totale de u que nous cherchions.

Elle renfermera, en général, u outre x, y, z,. . ., eliir, dy, dz. On le conservera ou on aura la faculté de le faire disparaître, suivant que l’équation proposée sera ou non insoluble.