FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. - DÉFINITIONS - ET NOTATIONS
49. On étend aux fonctions -de plusieurs variables la • convention précédente, en faisant constamment. croître les variables par degrés égaux, qui restent, bien entendu, indépendants de l'une à l’autre. Cela revient encore à traiter comme des constantes les différentielles arbitraires des variables indépendantes ou comme nulles leurs différentielles d’ordres supérieurs, à partir de la seconde.
Si on fait à chaque fois varier toutes les variables ensemble, on obtient les différentielles totales première , seconde , troisième , etc. Si on n’en fait varier qu’une à chaque fois,' sans que ce soit nécessairement toujouis la même, on a des différentielles partielles, du premier , du second , du troisième..., ordres. Enfin si on les fait varier de toute autre. manière, ou trouve des différentielles plus ou moins particulières des divers ordres.
50. Les différentielles totales se désignent encore par du, •
d'u, d 3 u,..., d"u,.... Les différentielles particulières seront des sommes d’un certain nombre de différentielles partielles. Il reste donc à indiquer comment on exprimera tes dernières. * , ,
Pour plus de clarté, je ne suppose d’abord que deux variables indépendantes x et^. Si on ne fait varier chaque fois que X, on rentre dans le cas d’une fonction d’une seule variable a*, et par suite la seconde différentielle partielle*
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s’exprimera comme nous avons vu (y, p. 58) par le pro-
duil de la dérivée j par rlx*. Seulement les parenthèses
deviennent nécessaires pour rappeler qu’il s’agit d’une variation partielle
De même, si on ne fait varier que y, on aura
I| reste encore deux combinaisons qui consistent à faire varier d’abord .r, puis y, ou y et ensuite x. De là deux autres différentielles partielles pour lesquelles l’analogie nous fournit les symboles
(&fy) \n^ü) dy(,Jr -
51 . Or, je dis que ces deux expressions sont équivalentes. Si on part, en effet, de la valeur de u qui se rapporte à celles x, y. des variables,
en faisant d’abord varier x, ces quantités deviennent x — |— ilx, r ; « -4- ( ^ j dx ;
puis, en faisant varier y seul,
x f/.r, y h- Hy;
[“ + (^) rfr J + [(ê) * + (S -) drdr ] '
en effet, ce dernier terme vient d'ètrc introduit pour désigner l accroissement que fait subir la variation de y à 1 ac-
froissement (^j~) àx't\m esi résulté pour « de la variation de x.
De même, en reprenant les valeurs initiales.
pour faire varier en premier lieu j', on trouve d abord
et en donnant ensuite à .r son accroissement x + (lx, y -t- iiy ;
[" + (S) ,u ] + lit) * + [0) <irdt }
Or dans les deux cas nous sommes parvenus à la valeur de la fonction qui correspond à je -+- rix, y •+• t/y. Nous devons donc avoir le même résultat, et par suite , en supprimant les parties ‘communes,
De là ce théorème essentiel : On peut intervertir l'ordre de deux différentiations.
52. Il s’ensuit immédiatement qu’on peut modifier d’une manière quelconque l’ordre dos différentiations. Car ayant le droit de le changer pour deux consécutives, nous pouvons avancer d’un rang la seconde, puis, la combinant avec celle qui alors la précède immédiatement, lui faire franchir encore ce pas et l’amener ainsi finalement à tel rang que nous jugerons convenable; et cela évidemment quel que soit le nombre des variables.
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Ce qu’il y a de plus simple consiste (lès lors à grouper ensemble toutes les différentiations relatives à la même variable. On po.urra donc former de la manière suivante le type le plus général des différentielles partielles d’un ordre quelconque n = p ■+■ q -4- r- 1- .....
/ dP+1 +r+ • U \dxP dyl dt r . . . /
] dxfd/tdï ....
• ' § IV
