FONCTIONS DF. PLUSIEURS VARIABLES. DIFFERENTIATION

53. Fonctions explicites. — Lorsqu’une fonction particulière sera donnée directement, on ne rencontrera jamais de difficultés pour sa différentiation. 11 suffira d’appliquer plusieurs fois de suite la règle connue (33).

Exemple. — Considérons I expression

on en déduit successivement

du = 2 J y 1 dx 4- 2 x'ydy, d* ri — a y’dx 1 4 - 8 ryd.rdy 4- 2 r 3 dy', d'ut = i 2 ydx 1 dy 4- 1 2 xdxdy', il' it — 24 dx 1 dy ’, du — o.

54. On peut pour une fonction quelconque donner au résultat une forme remarquable qu’il est bon de connaître.

Si ou suppose trouvée la différentielle totale d’un certain ordre, il faudra pour obtenir la suivante ajouter ensemble les différentielles totales de tous les termes. Chacun

d’eux sera de la forme

r / dP+T'

,+ffM-. • U \

. ■ ) lijcP ilyi ttz’ , . . :

\dxPdyidz'. . .)

et aura pour différentielle totale

(£) rfjr ' h (^) ,, - r+ (S) rfz - + ••

c’est-à-dire, d’après nos notations,

■ / dP +,+ i +r *’ - n \ ’

K -, : — 7 ) d.cP+! dyU-J . .

\dx P*' dyt dt' . .J

/d,rP + 'l + '

dxP,dyi + ' dz r . .

\dxP dyl + ' dz r ...j

[ dxP+1 +r+ ' + • • • u\ , , ,

-f- K ( — - — — 7 — ) dxP dyi dz r * 1 . . .

\dxP dyl dz r+ ' . . . J

Il est facile de voir qu’on reproduirait cette expression en effectuant purement et simplement le mécanisme des calculs indiqués par la formule t

comme si les lettres qui figurent dans le premier facteur représentaient des quantités, tandis qu’elles ne sont que des caractéristiques d’opérations. Une telle formule est appelée symbolique.

Or, ce premier facteur sera le même pour tous les termes de la différentielle considérée, de sorte que, pour passer à la suivante, il suffira de la multiplier tout entière par

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Mais la première différentielle totale a pour expression

et s obtient de Son côté en multipliant u par ce même facteur. On aura donc symboliquement pour la n iimr différentielle totale :

d " " = [(s) dx ü) d) + (i) ' /2+ - T • “ •

Si on considère en particulier une fonction de deux variables seulement .r et y, le développement sera, d’après la formule du binôme^

5o. Fonctions données par une équation . — Appliquant la méthode (dt>), nous diflerentierons et nous aurons une équation du premier degré pour exprimer du en x,y, s,. . dx, dy , dz,..., et u. Di fFéren liant encore, une nouvelle équation du premier degré fera connaître d*u en x, y, z, . . . ; dx, dy , dz , ... ; « et du, et on chassera ce dernier terme à l'aide de sa valeur qui vient d’être calculée. Line troisième équation du premier degré donnera d’n en x, y, z,...-, dx, dy, dz,...-, u, du, d i u, dont on fera encore disparaitie les deux dernières. Et ainsi de suite.

Lorsque l'équation proposée sera résoluble, on pourra encore reihplacer u par sa valeur, et les différentielles succos-

sives seront exprimées en x, y , z,. . dx, dy , dz,-. . . , seulement.

Exemple. — Traitons comme si elle était insoluble lé-quation

uxy — m.

On aura d’abord

xydu. -+- u ( x<ly ■+■ ydx j = 0 , xyd 7 u -(- 2 [xdy -H ydx) du -4- 2 ud.vdy = O,