I.a première donne

et la seconde

du = ( xdy -l- ydx '),

ci 1 u — \udjcdy -f- [xdy -\-ydx\dti\

xy L

udxdy —

u [xdy ■+■ ydx) 7

— — r [x 7 dy 7 y- y 7 dx 7 -+- xydxdy),

56. Fonctions données par un système d équations . — On applique la méthode (38) dont nous conserverons les notations. Pour cela on différentie et on obtient des équations du premier degré pour déterminer les différentielles totales premières, . .., du , de , d\v, en r, y, z, dx, dy, dz,..., et v, iv. On différentie de nouveau et on obtient au

premier degré les différentielles totales secondes . . ., d*u, d*e, d* w, en x, y, z, . . . ; dx, dy, dz,. . ., et en outre . . . , u, v, tv; . . . , du, de, dw, mais on chasse ces dernières au moyen des valeurs précédentes. Et ainsi de suite.

Lorsque l’élimination du système proposé est possible, on remplace en outre . . . , u, v, iv par leurs valeurs en x, y, z,..., et on obtient les dilférentielles totales successives eu x, y, z , ... ; dx, dy, dg., . . . , seulement.

CALCUL DIFFERENTIEL.

Exemple. — Considérons les équations

'ir + v 1 =r j.- s -t- y'.

Oii on lire d'abord

i lu +■ dv =. ttx H- dy , h iln -+- vdv = xdx 4 -yd) ;

en second lieu

du* tul 7 u -h dv 7 -h vd 7 v = d.v’ dy’

cl ainsi de suite.

Les deux premières donnent

( v ' — x) d.r J- ( v — r) dv du = 1 — — *

(il — x ) d.r 4- ( n — ) ) dy -

dv = : : — : — "

Passaut au second système, la première équation donne ri" 2 v z=. — d * u ,

et transforme ainsi la. seconde

dw -+• dv 1 — de- — d) 7 + (i t — p)d’u — o.

On en tire

' du 1 H- rfi' 1 — dx' — dy '

x )dx-b\v — r)d> f ! . u —r)<lr H- (il - r) ih 7 dt'~- d)'

(v — nr i « — y Y

__ t („ — T)dx-b(v — I )dr f-H (u — t)dr 4- (Il - ) )d> | ; - (<■ — H i‘(<h * + d}') '

et eu effectuant tous les calculs

• ( V — X ‘ -(u — X )' fv — U Y

lv — y I 2 - 4 - (u — y ) 1 — (v — II ) 1 -h 7 r- dj-

+ * (*-*)(>— v) + [u-*)in-r\ dr

(v — uf

On a ensuite, en changeant le signe ou en permutant n et v,

,n v= tu- xy + (v — x)'-(ii-i>)‘ , rf

(>• — xY -+• <•>— r ) 2 - (« t -*)’ , ,

+ 2 — *) {u— y — *) (v-f) dx<ly

CALCUL DIFFÉRENTIEL