OBJET DU CHANGEMENT DE VARIABLES INDEPENDANTES

57. II se présente fréquemment dans l’analyse ordinaire des occasions où, après avoir elfectué des calculs et établi des formules où figurent certaines variables, on veut abandonner leur considération pour leur substituer d’autres quantités qui seront plus avantageuses à certains égards. Cependant on ne veut pas reprendre les recherches au commencement et on désire profiter des résultats acquis. La marche à suivre pour cela est bien simple et consiste à se procurer l’expression des anciennes variables en fonction des nouvelles, d’après les relations qui doivent, bien entendu, les unir pour que les unes puissent remplacer les autres. On n’a plus ensuite qu’à reporter ces valeurs dans les formules à transformer. Les anciennes variables disparaissent par cette substitution qui introduit, au contraire, les nouvelles.

La transformation des coordonnées en géométrie analytique fournit un exemple bien connu de cette méthode.

58. Par les procédés du calcul infinitésimal, nous introduisons, outre les variables elles-mêmes, leurs différentielles ou leurs dérivées. Il ne sullil donc plus, pour qu’il ne reste pas de traces des anciennes quantités, de les remplacer par leurs valeurs; il. faut encore connaître les expres-

sions qu’on doit substituer à ces différentielles. Tel est le problème du changement de variables.

Nous avons de plus établi une. convention qui place les diverses variables dans des conditions différentes. Celles qui sont considérées comme fonctions des autres ont seules des différentielles d’ordre supérieur, les variables indépendantes n’ayant que la première. Si donc, pour une raison quelconque, on veut, conservant, au moins en partie, les anciennes variables, cesser de considérer comme indépendantes celles qui avaient été envisagées à ce point de vue; elles devront recouvrer des différentielles d’ordre supérieur, tandis que les nouvelles variables indépendantes perdront les leurs. De là une altération profonde subie par les formules, et dont l’appréciation forme le second côté de la question du changement de variables indépendantes. / .

11 est facile d’établir, à ce sujet, des formules tout à fait générales, mais elles ont peu d’utilité pratique. Je me contenterai de faire saisir l’esprit de cette théorie par deux problèmes qui sont, au contraire, d’une application fréquente. Je traiterai le premier avec la notation des dérivées, et le second avec celle des différentielles, pour montrer comment l’une et l’autre peuvent s’adapter à ce genre de questions.

§ II