INVERSION DE LA FONCTION ET DE LA VARIABLE

59. Je suppose qu’on ait considéré x comme une variable indépendante, y comme sa fonction

cl que ces quantités (igurent dans une expression quel-

CALCUL UIFFÉRE1VTIEL.

conque - - -

fi*, /.(*■), /'(*), /•(*),■ r t*). •••]■

On veut ensuite intervertir les rôles, c’est-à-dire .regarde! 'dorénavant^ comme variable indépendante et x comme sa fonction que je représente par

*=F (jr).

F est appelée la fonction inverse de f, et s obtient en résolvant en sens contraire l'équation précédente. Il faudra d’abord pour cela remplacer dans l’expression de <p, x et f{x) par. F (y) et y, et la question est de connaître les va leurs à substituer aux autres quantités f'(x), f"[x). f'"(x),....

Je considère pour cela l'équation

= F ( jr ) ,

et je prends sa dérivée par rapport à x. Le premier membre devient l’unité. Le second, traité comme fonction de fonction, donne F' (y) multipliée par la dérivée de y par rapport à x. Comme j est égal à f(x), cette dérivée est J' (x). On a donc

d’où on tire, en premier lieu,

Prenons de nouveau la dérivée par rapport à x en considérant encore le seeond membre comme une fonction de y, qui est lui-mème fonction do x\ c’est-à-dire en prenant la dérivée par rapport à y, et multipliant par celle J' (x) de y relative à x. 11 vient par là

ou, d’après la valeur précédente,

Prenant encore la dérivée de la même manière, il vient

' F' 3 (,ri F"'f,r)-y"( , r).HF'My>F"(r) ,

ou, en réduisant et remplaçant J' (.r) par sa valeur,

et ainsi de suite.

L’expression transformée sera donc

F '■(/)’ F ’Hy)

60. Théorème eles fonctions inverses. — L’équation (8) donne, en remplaçant y par sa valeur,

et peut s’énoncer de la manière suivante : La dérivée d’une fonction y inverse de F s’obtient en divisant l’unité par la dérivée F' de la fonction directe et remplaçant dans cette dérivée la variable par la fonction inverse /’.

Exemple I. — Posons d'abord

F (.r) = tanga:,

F' (-n = — -r — = I -+- tang’x,

W JC

F' ( a ) l -t- tang- i

CAI.CULjDIFFÉBEMTIEL.

la fonction inverse est ici

/(*) = arc tang.r,

on trouvera donc sa dérivée en prenant

F '[/l' r )l F' (are tanga:)

i tang"arc tanga i -+- .■**

Celte formule déjà connue (6, p. 38 ) sert ainsi de vérification à la méthode.

Exemple II. — Pour obtenir un résultat nouveau, pre-

nons encore

F (.r) = sec .r,

on a trouvé ( 3 , p. 29),

Vi* •• ■'« ; dOTur

, . sinx F' (x)=

1 cos 1 .r cos 2 x

F ^.rj sinx — cos 2 a:

V cos 2

cos.r V cos 2 x

sécx v^séc’x — : 1

la fonction inverse sera

f{x) = arc séc.r,

et nous trouverons pour sa dérivée J W — r [/(.r)] F' (arp sécx)

séc arc séc.r V soc 2 arc scc.r — i .r \/x 2 — i

• -. •• ,tïFr*;lV.«r

avec le signe positif, car.la fonction est croissante.

§ ui