CHANGEMENT DE COORDONNÉES
61 . Je suppose maintenant que les deux variables ,r et y qui figurent dans "une expression
dy
dx'
dx>’\")
où x avait été traitée comme indépendante^ doivent disparaître complètement et être remplacées par deux autres /'été, celte dernière devenant la nouvelle variable indépendante. Il est entendu que l’on donne deux relations pour établir la liaison nécessaire entre x,j et r, 6. La méthode consiste à diflférentier ces relations et elle est indépendante de leur forme particulière. Je me contenterai donc de faire le calcul sur un exemple, pour fixer les idées.
Je supposerai qu’il s’agisse de transformer des coordonnées rectangulaires x , y, en coordonnées polaires r, 0, ayant même origine et même axe, ce qui fournit les relations
,z = /cos8, j' = /-sfn8.
Si nous différenlions ces équations, il vient
dx — . dr cos 9 — r sin Qd 6, dy dr sin 9 - 4 - r cos 9«?9 ;
cl eu divisant membre à membre
dx
dr
— sitl8 + rcos9 d 9
dr
cos 9, — r sin 9
Prenons maintenant la dérivée par rapport à 0. Il fajidra pourcela, dans le premier membre, la prendre par rapport à x qui est fonction de 0, et multiplie)' par la déri-
CALCUL DIFFERENTIEL.
vée de.r relative à ô,
(,T« co8<, - r9infl )
dx' de
{l7'* inÿ+ ' l 76 co * e ~ r sil,4 )-l
^^sin0-*-r cos6^
i(^ cos9 - a 7« sinfl -'' C095 )
(dr
[dê™ 9 -
r sin 0 j
dx
Si nous divisons par— doDt nous venons de trouver la va— r el 6
leur ( 9 ), le dénominateur se trouve porté au cube. Puis en effectuant toutes les réductions que comporte le numérateur, il vient (')
[ f/rl 1 ti*r
'.r 1 ~ 1 tir . \ J '
— cos 9 — r sin 0
et ainsi de suite.
L’expression proposée deviendra parla
! / cos 0, rstn G, —
dr '
— sin 9 4- r cos 0 f
rfÔ*
f Ir dQ
cos 9 — rsin 9
idr
ifTô'
• cos 9 — rsin
in j) Y
02. Exemple. — Proposons-nous de transformer la formule suivante
-im
fl 2 . y
(*) Les crochets indiquent ici le carre de — pour eviler toute confusion
avec une dérivée partielle ^ dont il n'est en aucune façon question. Cette précaution, sera conservée dans toute la suite tic ce cours.
8o LIVRE l, CALCUL DIFFÉRENTIEL-
11 viendra d’abord
en second lieu
Ifdr A „
1 — cos 0 — r sin 0
[dr . \
— sin 0 4- rcos 0 \d0 )
• il 2 r
ri en effectuant toutes les réductions au numérateur :
