THÉORIE DES SÉRIES

FORMULE DF. MACUDRIN.

(53. La question que nous nous proposerons ici dans louic sa généralité, consiste à trouver le développement d’une l'onction quelconque f (x) en série ordonnée suivant les puissances croissantes entières et positives de la variable x. Nous emploierons pour cela une méthode due à Descartes et qu’on appelle des coefficients mriétepnuiès ( 1 ).

(•) Cette méthode est loin d'ètre irréprochable. J'ai cru cependant devoir l’employer, parce qu'elle fournit la voie la plus naturelle et la plus simple pour parvenir au développement de Maclaurin. Mais comme celte formule est l’une des plus importantes do l’analyse, j en donnerai plus loin (222) une démonstration entièrement rigoureuse, qui aura, en outre, 1 avantage de nous permettre d’arrêter la série à un terme quelconque, en -faisant connaître la forme du reste.

Je dois avertir encoro que j ai supprimé tous les développements relatifs à la convergence des séries • non (pie je méconnaisse leur importance, mais parce que ces détails, peu susceptibles d’ètre condensés quand on veut les exposer complètement, m’auraient entraîné boré du cadre que je me suis imposé ; et que d’ailleurs onjes trouve aujourd hui dans tous les Traités d Al-

Si '

Elle consiste à supposer le développement trouvé sous la forme

f (x) = A„ -4- A, a: A,* 1 4- A.,*’ -+-... + A„jt' -+-

et à en déterminer les coefficients en se servant des propriétés de la fonction qu’il est destiné à représenter.

Pour connaître le terme indépendant A 0 , il suffit de faire x — o dans celle égalité qui doit subsister pour toutes les valeurs de la variable. On trouve ainsi

Pour avoir de suite le terme général, différentîons n fois, ce dont nous avons le droit (13)„ puisque l'égalité a lieu quel que soit x. Dans cette opération les premiers termes disparaissent, car on a vu (-44) que les dérivées d’une puissance entière et positive d’un ordre supérieur à son exposant sont toutes nulles. Le premier dont il reste trace sera celui du degré n, car sa n' emr dérivée est constante et égale à t . a . 3 . . . n.A„. Quant aux termes suivants en x” +l , x“ +t , x" +a ,. . . , comme la différentiation abaisse leurs exposants de n unités, ils renfermeront encore x, x*, x’, ....

Nous pouvons donc écrire :

f <*>(.»).= 1.2.3. . . «.A, + Bi + Cr ! + D.r * h

Si on fait maintenant x = o dans cette relation qui, comme la première, doit subsister potir toutes les valeurs de la variable, il reste

gèbre. Je me borne à prévenir que parmi les séries établies dans ce chapitre, celles de l’exponentielle, du sinus et du cosinus peuvent être employées quelle que soit la variable, les autres séries particulières pour les valeurs moindres que 1'ünité, ot les formules générales de Taylor et de MactaDrin pour de» valeur* suffisamment petites dans chaque cas.

on on tire, pour le coefficient du terme général,

/-Ko)

En reportant cette valeur dans la formule, elle devient

Telle est la série dite de Maclaurin*ou de Stirling. JNous sommes ramenés pour son application à former les dérivées successives de la fonction, ce que nous saurons toujours faire, et à y supposer x — o.

La question est ainsi complètement résolue; mais on peut à cet égard distinguer trois cas. Ou bien la fonction est assez simple pour qu'on puisse, comme nous en avons eu des exemples (44), écrire immédiatement sa dérivée d’ordre quelconque. Ou bien, dans l’impossibilité desaisir la forme générale de ces dérivées, on est réduit à calculer un certain nombredes premières, et à y faire y — o. Il se produit alors, en général, des réductions assez notables pour permettre d’apercevoir la loi de formation des résultats purement numériques ainsi obtenus. La série est dans ce cas aussi complètement connue que dans le premier. Ou enfin la fonction est trop compliquée pour qu’on puisse saisir la loi de succession de ses différents termes, et on doit.se contenter d’en évaluer un certain nombre. La solution au point de vue analytique est alors beaucoup moins satisfaisante; néanmoins elle fournit encore à la pratique un puissant secours, notamment pour les calculs de la Mécanique céleste.

GL Exemple I. — Considérons d’abord l’exponentielle.