V RE
On a trouvé (44)
.Pt par suite 11 vient done
S on fait en particulier x = t, on obtient la série numérique qui exprime la base du système népérien (')
iii i
Exemple II. — Prenons maintenant l’exponentielle à base quelconque (44)
en substituant » -
Lin L* m
L m L'rn
Ce développement se déduit du reste du précédent, puis-
i , , xLm
que m n est autre chose que e
Exemple III. — On a pour le sinus (44)
/(.4r)=sinx, /(">(*)= sin^.r -t-
• /{o) = o, /<->(o) = sin — ■
(*) Il n’y a aucun cercle vicieux dan» la marche que nous avons suivie; elle ne se base en effet que sur la règlo de différentiation de l'exponentielle pour laquelle (14) nous n'avons pas eu k invoquer ce développement qu’on déduit ordinairement de la formule du binOme. ., .
Applications aAalvtiqi es -du calcul différentiel. 85 Les coefficients seront les mêmes de quatre en quatre, puisque quatre quadrants équivalent à une circonférence dont l'addition ne change pas la valeur du sinus. Les quatre premiers étant du reste,
— o, i, ? r 3 ; nu
sin —O, i, o, — i;
on aura pour -le développement
, . .r jt x‘
(il) sin ,r = H — , .
Exemple IV. — Prenons enfin le cosinus. Oit aura de même ( 4 - 4 )
Jf (.r) = cos Xf />*) (x) = «»s 4-
Zip)— I. /<*>(o) = cos ■—
Les coefficients s ont encore périodiques, et comme les quatre premiers ont pour valeurs
le développement devient
(12! rosy =..1 1 ; — . — r —- . . H
FORMULE D’EUJLER. ,, ,
65 . .Développons par la formule (10) la quantité «*'*'- <■ Comme- les puissances de — t se reproduisent de quatre en quatre, et ont pour valeurs *■"
il viendra
rc i H
ou en groupant les parties réelles et imaginaires,
On reconnaît dans la première série le développement (12) du cosinus, et dans la 'seconde celui (11) du sinus. De là l’équation' suivante donnée par Euler :
(13) cos x + y — 1 sin x. .
Si on fait en particulier
* x zx-j.hr. \
il vient, quel que soit l’entier k positif ou négatif,
Si on fait encore
TC
JS = — 1
il vient
ît » —
En élevant les deux membres à la puissance ^ — 1 , on obtient ce symbole remarquable
quantité réelle qui a pour valeur 0,207876 . . . . w
applications analytiques du calcul différentiel. 87 (Xi. Réciprocité des fonctions exponentielle et tri go nométrique. — La ibrimile d’Euler montre que les fonctions exponentielle et trigonométrique que nous avions considérées comme essentiellement distinctes, se ramènent l’iine à l’autre; ou que l’une seulement des deux doit être considérée comme simple. Cette équation nous fournit immédiatement l’expression trigonométrique de l’exponentielle, eu changeant x en — x ^ — 1,
e‘~ cos ( j: J—i ) — J — 1 sin (xy — 1 ).
Pour évaluer inversement les fonctions trigonométriques en exponentielles, remplaçons successivement dans la formule d’Euler la variable par x et — x. Il viendra
cosx + V — i sinx = c* cosx — ^ — 1 sinx = ;
d'où l’on tir»
cosx = —
-7 > sinx :
On déduit ensuite de là en divisant membre à membre
(i5) tangx =
Quant à la sécante, la cosécautc et la colangenle, ou sait qu’elles ont pour expressions les inverses des précédentes.
Il serait facile de ramener de même les fonctions circulaires au logarithme, et, réciproquement.
