Valeurs multiples du logarithme. — Considérons

le logarithme d'une quantité imaginaire x -t- y ^ — î, et cherchons à le ramener à la même forme. Nous poserons pour cela

' l{jt +x >/ — »)=“-*- •’V— J »

en désignant par u et v des fonctions inconnues de x et y qu’il faut déterminer. .

Si nous prenons l’exponentielle des deux membres, il vient (i3)

— e“ (cos p H-.V— T sine) = c* eosr 4- \/ — i e“sinr.

Or une égalité qui a lieu entre des quantités réelles et imaginaires, se décompose en deux autres relatives à chacune de ces parties. On a donc

I e* cos r = x ,

( e" sin <• = y.

Pour éliminer d’abord e, ajoutons les carrés, il viendra

(■“ ( cos’ p 4- sin 1 p ) = r 7 + y',

ou simplement

j’extrais la racine numérique '

e“ = >Jx' 4 - y 3 i ' .

puis je prends dans les Tables le logarithme népérien numérique que je représente, pour cette occasion seulement, par la caractéristique /, » ■

APPLICATIONS AN AL YTI Q L'ES Dl CALCUL DIFFÉRENTIEL. 8t}

En second lieu, divisons membre à membre,

lange = ■^1 -

■ . > e = arc tang — •

Nous sommes convenus ( 2 , note 5 ) d’attribuer aux signes d’abréviation des fonctions circulaires une valeur unique, sauf à la compléter par l’addition des multiples convenables de tt. En général, quand un arc n’est donné que par sa tangente, on peutlui adjoindre un nombre quelconque de demicirconférences. Mais ici nous connaissons en outre les signes individuels du cosinus et du sinus de e qui sont ceux de x et de y d’après les équations (16), car e“ est nécessairement positif puisque u est réel. On ne doit plus dès lors ajouter que des circonférences entières, car une demi-circonférence, quoique ne modifiant pas la valeur de la tangente, changerait les deux signes du sinus et du cosinus. La valeur complète de v est donc, en désignant par k un nombre entier quelconque positif ou négatif, qui peut être nul

v — arc tang — t- 2 Air. •- * * '

68. Si uous substituons maintenant à 14 et v leurs valeurs, il vient' » . -

(17) L(x-\-y ^ — 1) = / \Z.r’ H-/* -t- 1 |^arc tang^ -+- a A'*

On voit par là que le logarithme est une fonction essentiellement multiple douée d’une infinité de valeurs, dont la partie réelle est le logarithme numérique du module y/x* et .qui diffèrent les unes des autres par des circonférences imaginaires. s •

Si nous voulons considérer à part ce qui a lieu pour les quantités réelles, il suffit de faire / — <>. L’arc a alors pour