V R E II
sinus zéro, <1 après la seconde des équations (16), c’est-àdire tju'il est égal à zéro ou à 7r. On prendra l’une ou l’autre de ces valeurs suivant que x sera positif ou négatif, puisque
son signe indique celui du cosinus. On a donc
’ L ( -4- X) = Ix 4- 2'X'7T — i,
L{ — x) = lx-h ( 2 A 4- I ) jr \J — l ;
c’est-à-dire qu’un nombre positif x a un logarithme réel fx qu’on trouve dans les Tables, et une infinité de logarithmes imaginaiics qu’on obtient en lui adjoignant des circonfér reuccs imaginaires; et que d’autre part, un nombre négatif n a que des logarithmes imaginaires qui s’obtiennent eu adjoignant au logarithme de la valeur absolue un nombre impair de demi-circonférences imaginaires.
Ou aura, en particulier, pour i = i,
L (■+■ i) = ■zk xt \j — i,
Lès logarithmes de l’ünité sont donc des nombres pairs ou impairs de demi-circonférences imaginaires, suivant qu’elle est positive on négative.
FORMULE DE MQIVRE.
69 . Elevons les deux membres de la formule d’Euler à nue puissance do degré quelconque zi, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, • ’• ••
( cos x 4- \i — i sin x)* =
Remplaçons-y d’autre pari Jt par mx, cos nx -f- J — 1 sin nx =
Le résultat étant le même dans les deux cas, il s’ensuit
( cos.r 4- ^ — 1 sin.r)“ = cos/i.r 4- ^ — 1 sin nx.
Celte égalité, due à Moivre, se trouve ainsi établie pour un exposant quelconque. Elle nous apprend que pour élever à une puissance un binôme de la forme cosx -f- ^ — i sinx, il suffit de multiplier par l’exposant Y argument x de ce binôme.
70. Équation binôme. — - On appelle ainsi celle qui ne renferme qu’un seul terme en x sous la forme,
O11 peut écrire ainsi le second membre
en ne prenant que la valeur positive du radical. Sion remarque que les deux coefficients ont maintenant une somme do carrés égale à l’unité, il s'ensuit qu'on peut les considérer comme le cosinus et le sinus d’un même arc. La tangente de cet arc sera dès lors le quotient de ces coefficients, et on
pourra le désigner par arc tang - i ou plus généralement
arc tang ^4- akn. Nous devons encore n’ajouter que des circonférences entières , car nous connaissons non-seulcnient la tangente, mais en outre les signes du sinus et du cosinus qui sont ceux de b et a, puisque le radical est pris positivement.
ç)2 * Livne il.
On aura par là
.v" = y la* -f- b 7
Si nous extrayons maintenant la .racine n'""’, d'après la formule de Moivre, il vient
cos ^arc tang ^ - 4 - »litj \/ — i sin ^ari
■c tang -H- a-X irj
arc tang — 2. k
• , / arc tang h 2 kn\ i
v/— sin ( — P
Grâce à la préparation que nous avons fait subir’ à l’équation proposée, cette formule résout la question en fournissant n valeurs distinctes de x et seulement n qui y satisfont. En effet , le premier facteur ne représente que la racine numérique d’ordre an de la quantité essentiellement positive «’ -I- 6 *. Quant au second, il recevra d’abord n valeurs distinctes, lorsque k sera remplacé par o, 1, 2, 3 ,..., n — 1 •, car par cette substitution nous formons une série d’arcs en progression arithmétique dont la raison est — 1 et dont le dernier terme n’atteint pas encore la circonférence entière. Or deux de ces arcs ne peuvent avoir à la fois le même sinus.el le même cosinus, au moins avec les mêmes signes. De plus ces valeurs seront seules distinctes, -car si on continue à remplacer A par h, n-l-i, «-(- 2 , , on retrouve les mêmes arcs avec
addition de n fois la raison — ou d’une circonférence ,
a 1* f 1 1 c a t i o > s' analytiques du calcul diei ékentiel. ;i3 ‘ce qui reproduit les mêmes sinus et cosinus. Tl en serait de même pour les valeurs négatives de k.
Pour considérer en particulier une équation dont le second membre soit réel et positif
il suffit de faire b = o. L’argument arc tang - s’annule, 'et on a, simplement
2/i : — . 2 k tc\
jr — J a I cos 1- v — 1 sut - — }- ) •
Si le second membre est négatif
l’argument doit être pris alors égal à n ( 68 ), et on a
n —( ' 2 h -j— I v j TC , r . (2X -f-l)j:\
,r=.v'«lcos — . — h v — 1 sin 5 — I- t
O11 obtient en particulier, en faisant «== 1, les n valent s de la racine n 1 '"'" de l’unité positive
2 / 7 T — . Ir ii n
eos h y — t sin
L’une d’elles est toujours réelle et égale à 1, on l'obtient en faisanl = o. On a de même pour celles de l’unité négative
(2 / l) TC COS
. ( 2 k -4- I ) TC sin — •
Si le degré n est impair, on peut faire k = i d’où
ik -f- 1 — /z, et on obtient encore une racine réelle- égale à — t . Si le degré est pair, 011 n’a que des valeurs imaginaires.
Ou -appelle équation trinôme celle qui peut se ramener à la forme
x” -+- px" -+■ q = o .
Eu prenant comme inconnue auxiliaire la quantité x", on est ramené à une équation du second degré' dont la résolution donnera pour x" une expression de la forme a-\-bsJ — i; il suffira alors, pour achever la résolutiou. d’appliquer la méthode précédente. On appelle de mèmè équations polynômes, celles qui sont composées avec x" comme le sont avec x les équations du troisième, du quatrième degré et les équations particulières qu’on sait lésoudre dans les' degrés supérieurs. Celle môme méthode permettra d’en effectuer la résolution complète.
71. Sections angulaires-. — Développons la formulé de. Moivre par celle du binôme de Newton qui sera bientôt établie pour un exposant quelconque (76),
cosnx -t- y r— f sin«x = cos’ x n \ — i co>" - '.r sin.r
cos .t sin
n (n — il (/i — 2 ) ( n — 3)
, n in — 1 ) (n — 2 ) ,
1 x V — 1 cos
«in 1 >■
COS"~‘ X sin' r ■+-
Si nous égalons séparément les parties réelles et imaginaires, il viendra
cos nx. — cos a x — cos" - 2 x sin 3 .t t
I n(ri — 1 ) {n — 2 ) (n — 3j
- — ; cos , 'xsin x — •
sin nx~ «cos'-'xsin^-
cus , ~'xsuv.r «(« — 1 ) (« — 2 j '
cos’ ,— ’xsin^x
: — - — coss - 'x wn' c-4-- ■ • •
APPLICATIONS AK VI ATIQUES DU CAI ClU. D1FFÉIIENTIEL . y3
En divisant membre à membre, nous obtiendrons la valeur de lang/ix. Si de plus nous divisons les deux termes de la fraction par cos" y, nous lès réduirons à ne renfermer que tangx. On a ainsi
» ta ug x -
ta n g mx =-•
tang* x -
» (il— ■:(!»- a)(»— 3)(n— 4) i . 2 . 3 . 4 • 6
tang 5 * —
î ~ - tang*x -
« (n — j ){u — •i)(ri -
tang 4 x — ■
Si l'on à cil vue le problème de la multiplication des arcs, n sera un nombre entier, bien entendu positif. Il est clair alors qu’en [toussant suffisamment loin les développements, on rencontre un facteur n — n qui en fait disparaître tout le surplus. On obtient ainsi des expressions terminées. Si, par exemple, on fait n = 2 , on retrouve immédiatement les valeurs bien connues que fournit la trigonométrie élémentaire pour le problème de la duplication des angles.
Si on se propose, au contraire', la subdivision des arcs, n devient un nombre fractionnaire et la soustraction des entiers successifs ne donnera jamais un facteùt 1 nul. Les séries sont alors illimitées : c'est ce qui aurait lieu, par exemple, pour le problème de la trisection de l'angle, si ou
faisait n ■■
72. Sérié circulaire. — Écrivons la seconde des formules (ty) de la manière suivante:
sm/tx
x . — =r cos ,l .rsm
x r cbs"~’x sut 5 x
cos" — ‘xsin'x — • •
et faisons tendre n vers zéro. O 11 sait (tue le rapport — —
ne
prend alors une valeur déterminée, égale à l'unité, comme
LIVI1E II.
nous aurons du reste bientôt occasiou de le démontrer (24, p 128). En faisant également n = o dans le second membre, il vient ' '
langjr tang’x tang'.r tang : .r *
et en remplaçant pour plus de facilité x par arc tangx
- . . xi? X* a;’
{20), arc tangx = — 1 - ,
Si ou fait en particulier x = 1 , ou obtient la série numérique ' ..
Ce développement, dû à Leibnitz, fournit la valeur du rapport de la circonférence au diamètre.
§ IV
FORMULE DE TAVLOR.
73 . La démonstration que nous avons donnée de la formule de Maclaurin supposait gratuitement la possibilité du développement. Si donc la nature particulière d’une fonction s’oppose à ce qu’on puisse lui donner cette forme, on doit s’attendre à trouver un résultat inadmissible. Si par exemple, on se proposait de développer Lx en'série, il faudrait recourir à la n iimr dérivée qui contient (44) le fac-
leur ± — 7 et y faire x—o. On aurait alors dr oo . D’après
cela le développement deviendrait oo — a; oo — oo -f-.. . ,
c’est-à-dire qu’il prendrait une forme complètement illusoire. ' '
On peut dans ces cas exceptionnels tourner la difficulté en employant une formule plus générale due à Tavlor.
