Pour la trouver, posons
a désignant une constante arbitraire. On en tire
/'(*) = F'(x +«). ' /|T ^ a| = F'(.r4. fl ); et de même
/(")(*) = FO (*+ a), d’où, en faisant x — o,
/<">(c) = FC">(fl).
Le développement devient, par conséquent,
F(. + .| = r ( .| + ÏW, + ffl,
Telle est la série de Taylor. Elle comprend évidemment celle de' Maclaurin pour le cas où on fait« = o. Cette formule a deux applications principales. On peut s’en servir d’abord pour exprimer l’accroissement fini F (« -+- x ) — F (a) que reçoit une fonction F, lorsque sa variable actuellement égale à a subit l’augmentation finie ,r. O 11 s’en sertaussi pour obtenir le développement d’une fonc-. lion F envisagée par rapport àr + a, en série ordonnée suivant les puissances croissantes entières et positives de x, lorsque la formule plus simple de Maclaurin est en défaut pour développer F (x) elle-même. C’est à ce point de vue que nous lâ considérerons ici.
75 . Série logarithmique. — Reprenons la fonction Z.r, et pour la développer le plus simplement possible, faisons
i.ivke h.
« = !, On aura ( -4- i)
F(.r) = /,.r, FW(r)s
F(i) = £i = o, Fl">(i) =
On lire du là, pour la valeur du eoeflieient général,
Fi-Ï(i) ' f — i '
H par suite
Celle série forme le point de départ de toutes celles tju’on a établies sous des formes plus ou moins commodes pour le calcul numérique des Tables de logarithmes.
76. Binôme fie Newton. — Considérons encore la puis-sauce x' n d’exposant quelconque. S’il est entiej et positif, la formule de Maclaurin donne l’identité x m = x"‘. S’il est négatif ou fractionnaire, la différentiation amène au bout
d’un certain temps à des quantités de la forme ± ~ qui,
pour x = o, conduisent de nouveau à la forme illusoire
CO — oc 00
Nous aurons donc rebours à la série de Taylor, en faisant encore pour plus de facilité a — 1 . O 11 a trouvé (44)
F (a - ) = a? 1 , FC) \x) — in (ni — 1 ) . . . (/// — n -t- 1 ) F(i) = i, Ft*)(i ) = /»(m — 1 ),..(/« — /t-F-i);
et par suite
, m mfm — 1 }
m{m — »)(//? — al
ni
[ni — 1 )(/// — 2 )(//i' — 3) (
Telle est la formule diledu binôme de Newton ( 1 ) . Lorsque l'exposant sera entier et positif, ce développements’arrè.tera à cause du facteur m — m = o qui finira par s’introduire. Lorsqu’il sera fractionnaire, on franchira le facteur zéro, mais on ne le rencontrera pas. Si enfin il est négatif, les quantités m — i, m — 2,..., s’éloigneront de plus en plus de zéro et né l’introduiront pas non plus. Ainsi dans ces deux cas on obtiendra une série illimitée.
La formule.de Newton sert à ce point de vue à effectuer algébriquement des divisions et des extractions de racines. J’en donnerai un exemple qui nous sera utile par la suite 1
i LA L
ou en réduisant
série dont la loi de formation est évidente.
(') Nous l’établissons ainsi directement pour tin exposant quelconque, sans faire de cercle vicieux et sans recourir à la théorie des combinaisons, comme je l’ai fait remarquer ( 15 , note). Pour en déduire, la forme employée ordinairement dans le cas de l’exposant entier et positif, il suffit de
poser - = x et de multiplier par a'” t ce qui donne * a
JOO
