FONCTIONS DE PLÜSIEUBS VARIABLES

77. On peut étendre la formule de Taylor à des fonctions de plusieurs variables /(.*,/, z f • •)» ct développer j ( x | a , j + b, z + c,...) suivant les puissances de

Désignons pour cela par t une variable^ auxiliaire et posons ,,

u—tx + a, V — ly b, w — tz ■+■ c.

d’où

Si nous considérons la fonction

il est clair que pour * = i ; «, w, w, . . . , deviennent X-+-a, y + b. z -t- c,. • • , et par suite que F (i) se réduit à 1 expression proposée. Or, si on développe F (/) par la série de Maclaurin et qu’on y fasse t = i, il vient

F'fo) . F" (o) , F” (o) ,

11 suffit donc de calculer ces divers coefficients.

Nous aurons pour cela, en considérant /comme une fonction composée de / (5 , p. 33),

ce qu’on peut écrire symboliquement (54)

La différentiation par rapport à t s effectue donc en multipliant l’expression à différentier par ce facteur symbolique. Par suite n différentiations consécutives n’auront d’autre effet que d’élever ce facteur à la puissance n. On aura ainsi immédiatement

F(m> H x (iL) + * (£) + * (é) + • fa

Si maintenant nous faisons t = o; «, v, w , . . . , se réduisent à a, b, c, . . . , et il vient

F(,, ( 0) = \ x {£) +jr (à) +î (é) + - fa ’ b ’ *'•••>•

formule qui donne tous les termes de la série.

Nous aurons donc, en conservant pour abréger la forme symbolique

+ ri |*(à) (à) + 1 (i) +• • • U {a ' 6>f ’- • ■>

+ rb|*(s) +x {ib) +*(£fa- : fa>^--.-)

On peut condenser encore davantage l'écriture en se reportant à la série exponentielle (io, p. 84). On aura, en

effet, en l'envisageant à un point de vue purement symbulique (*),

Si on considère en particulier une fonctionne deux variables t, y, on aura, en dégageant complètement la série des conventions précédentes,

Si on fait en particulier a — o, h = o, c — o, . . dans la formule générale, on obtiendra l'extension de la formule de Maclaurin, ou le développement d’une fonction quelconque f (t,j, z,...) suivant les puissances de ses variables.

(*) On a donné, sons le nom de calcul des opérations, un grand développement à cette manière d’envisager doê formules, comme permettant d’en retrouver d’autres par un simple mécanisme d’opérations à effectuer sur des caractères qui ne représentent pourtant aucune espèce de grandeurs. On n’y doit voir qu’un moyen de mnémonique. II exige dans son emploi de grandes précautions; mais il a souvent rendu à l’analyse de véritables services.

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