FONCTIONS EXPLICITES

78. On appelle maximum ou minimum tT une fonction, non pas la plus grande ou la plus petite des valeurs qu’elle est susceptible de prendre, mais celles à partir desquelles elle cesse de croître pour décroître, ou de décroître pour croître de nouveau, en un mot ses changements de sens. Une fois ceux-ci déterminés, rien de plus simple que d’y choisir la plus grande et la plus petite valeur, qu’on appelle quelquefois maximum maximomm et minimum minirnorunn

79. Soit j (x) une fonction qui pour la valeur a de sa variable atteint un maximum J (a). Si on considère une valeur voisine au delà y (a -4- a), ou en deçà y (a — «), elles seront toutes deux moindres que J {a),, et par conséquent la différence

sera positive dans les deux cas. Eu raisonnant de même pour un minimum, on verrait que celle différence doit avoirle signe négatif, quel que soit encore celui de or. Ainsi le caractère d'un changement de sens est que le signe de A soit indépendant de celui de a. C’est ensuite ce signe qui

fixe la nature du changement de sens :

A^>o, maximum,

A<[o, minimum.

Or si nous remplaçons, dans la formule de Taylor (22, p. 97) x par ± «, en observant que le double signe se conserve dans les puissances impaires et donne un résultat positif dans les puissances paires, il viendra

Nous pouvons en déduire la différence qui nous intéresse

A = =p— — « - — — a* zp — i— 5 a» — 4— V 7 «’ T

80 . Actuellement pour profiter des simplifications que comporte la méthode infinitésimale, supposons a. infiniment petit, les termes d’ordre supérieur deviennent négligeables devant le premier, et il reste

Le double signe étant en évidence, la condition que A en soit indépendant exige que ce terme soit rigoureusement nul ou qu’on ait

Ainsi les seules valeurs de la variable qui puissent correspondre à un changement de sens sont les racines de l’équation dérivée.

Comme le terme du premier ordre disparaît alors, nous ne sommes plus autorisés à supprimer devant lui le second ;

applications analytiques du calcul différentiel. io5 mais le troisième et les suivants continuent d’élre négligeables, et il vient

Le signe de A est bien alors le même dans les deux cas. Comme il est opposé à celui de y" (a), il s’ensuit qu’on aura pour

/"(a)<o, maximum =f{a), o , minimum =/(a).

81 . Il n'y aura de doute que si on a précisément '/"(«) = o.

Le second terme disparaissant par là, le troisième doit être conservé , •>

et comme le double signe reparaît, il faut encore que la condition suivante soit satisfaite

auquel cas le quatrième terme ne peut plus être négligé

lr — — — > a* ,

et donne comme tout à l’heure pour

f l, [a)<Co, maximum =f(a), minimum =/(«).

Si on avait encore f" («.) = o, on verrait de même qu il est nécessaire que/’ (a) — o, et .ce serait alors le signe de J" la) qui trancherait la question. • 4

iu6

En résumé, les seules valeurs de la variable qui correspondent à des changements de sens, sont les racines de l'équation dérivée. Pour décider entre elles, on les substituera dans les dérivées suivantes, et on ne devra conserver que celles pour lesquelles la première dérivée qui ne s’annule pas, soit d’ordre pair. Elles correspondront alors à un maximum ou à un minimum, suivant que le signe de cette dérivée sera négatif ou positif.

■- x -'ïV- ; ''V

82. Exemple I. — Considérons le trinôme du second degré ’ •. '

, - •' ' f /(•»)= *'+/>* -b rj, 1

Posant l’équation dérivée

nous en lirons

formant la valeur delà seconde dérivée, nous avons

et, par suite,

ininiininn — f (a) — a 2 -+- /»« -f- /y

Ainsi le trinôme du second degré n’est susceptible que d’un minimum, et il l'atteint lorsque la variable est moyenne arithmétique entre les deux racines.

Si celles-ci sont égales, ce minimum est zéro et s'obtient pour la racine elle-même..

APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. lOJ

83. Exemple II. — Etudions de même le polynôme du troisième degré

! f(x) — x* -h px 7 4- «7-r 4 r,

' f (x) = 3x J 4~ ipx 4- q,'

l'équation dérivée donne

3 fl- 4 - 2 JJ fl -j- r/ — o,

’ . —pdb v//»’— 3f/

en distinguant les racines, on aura pour l'une

/" (a,) =» a vV’ 2 — 3 '/ > »*>

minimum =/(<?,)= r—-pq 4- — ■A' 1 — — (/' 2 — 3//) J ,

et pour l’autre

maximum =/(«,) = r — ïW+-7/ ,! 4- - (/>' — 3 7 P

Pour que ces valeurs soient réelles, il faut encore la condition

Dons le cas particulier où on aurait

il viendrait ' ' ‘

io8

Or dans ce cas

II serait donc nécessaire que la troisième dérivée s’annulât j mais comme elle a pour valeur fixe

il s ensuit qu’il n’y a alors aucun changement de sens.