IVI\E II

Si donc le degré est impair, il n’y a pas de changement de sens. S’il est pair, on a un minimum qui correspond à x — o et est lui-mèine égal à zéro.

Ce résultat est facile à vérifier, car si x va en décroissant, les puissances impaires deviennent négatives avec x et ne changent pas de.scns en passant par zéro; mais les puissances paires redeviennent positives et croissantes, et atteignent, par suite, un minimum pour x — o.

87. Exemple VI. — Dans certains cas particuliers, on peut trouver les changements de sens d’expressions où figurent des fonctions arbitraires. Soit, par exemple,

/(*)== K. (j)'-hF

/' W = rw-$V(=-),. v ■ ; •

,n.)-rw + fr(;) + 2 r (î).

L'équation dérivée

peut se mettre sous la forme

Elle sera évidemment satisfaite si l’on prend m

n — — i a = ifc y /».

Ainsi donc l’expression aura au moins deux changements de sens, qu’elle atteindra quand la variable sera en valeur

. APPLICATIONS ANALYTIQUES Ull CALCUL DIFFÉRENTIEL. III

absolue la racine de la constante. Leurs valeurs seront

îF(V«), 2 K ( — v ,,n )>

el leur njture indiquée par le signe de l'expression

\i ni

Si, par exemple, on a

/(x) = x + ™; Ffjr)'=.r, F(x)=l, F"f.r)=r o;

en ne prenant que la solution positive, la dernière expression est ellc-mèmc positive et indique un minimum a \Jni. Ainsi quand deux nombres ont un produit constant, leur somme devient minimum lorsqu’ils sont égaux. En d’autres ternies, le carré est, de tous les rectangles de même surface, celui qui a le moindre contour.