FONCTIONS IMPLICITES

88. Fonctions données par une équation. — Supposons, en premier lieu, une fonction donnée par une équation non résolue, et proposons-nous d’en trouver les changements de sens. Je désigne cette fonction par y et la variable par x.

Si on imagine l’équation résolue, elle donnera pour y une certaine fonction de x, et la règle précédente nous conduira à poser

• dy = o.

Par conséquent, il suffit de combiner cette relation avec la proposée, car celle-ci est équivalente à l'équation résolue

que nous ne possédons pas. Mais pour obtenir la différentielle dy delà fonction implicite^', il faudrait {27) différentier la proposée, et en tirer dy. Comme le seul usage que nous ayons à faire ici de cette valeur, est de l’égaler à zéro, il vaut autant introduire l'hypothèse dy — o dans î’équation .difrércntiée, mais non encore résolue par rapport à dy. Mais cela fait disparaître toute la partie qui avait été obtenue en considérant y comme variable et qu’on s’est ainsi donné inutilement la peine de calculer.

Donc, en résumé, il suffit de différentier l’équation proposée en traitant comme une constante la Jonction dont on cherche les changements de sens, de joindre la relation ainsi obtenue à la proposée et d’éliminer entre elles x et y. Les valeurs de x seront celles qui correspondent aux changements de sens de la fonction, relies d ey seront ces changements de sens eux-mêmes. Pour en discerner la nature, on aura toujours la ressource de calculer la seconde dérivée d’après la méthode connue (-45 ) et d’en examiner le signe. Mais il sera ordinairement plus simple de profiter dans chaque cas de' caractères particuliers.