Exemple. — Soit l’équation

a y’ -+- bxy -f- rjc 3 =; m,

da ns laquelle on peut toujours regarder m comme positif. L’équation dérivée en traitant y comme une constante sera

by -f- a <vr = o.

L’élimination donne facilement

On a ainsi deux changements de sens. Pour en recon-

APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. Il3

naître la nature, remarquons que l’équation représente une . conique qui a son centre à l’origine. Si on a d’abord

cette courbe est une ellipse, l’ordonnée positive est plus / grande que les voisines, et on a par suite

X = —rS/

/ me

Maximum — a y

/ mc

^ ac — ■ b 2

/ mc - ,

Minimum = — a y

j me

< \ ne —

Si, au contraire,. on a à la fois

4 ac<d b 1 , c < o,

la courbe est une hyperbole qui a son centre à l’origine et qui ne rencontre pas l’axe des x, car leurs intersections seraient données par la formule imaginaire . , .

Elle a par suite deux tangentes horizontales, car il y a toujours dans l’hyperbole deux tangentes parallèles à tout diamètre qui ne rencontre ras la courbe. L’ordonnée positive est moindre que les voisines feton a

b / mc . / me

r cV y 4 ac — b 7 '

b / me / me

x= \/ r ,i Minimum = + îl/- / - -•

c y 4 ac — y 4 ac — b*

Si enfin on a

4 ac 6 % c o,

les valeurs sont imaginaires et il n’y a pas de changement de

sens; ce qui lient à ce que la courbe est alors une hyper-bole qui coupe l’axe des x et qui n’a plus de tangentes horizontales.

90. Fonctions données par un système et équations. - — Supposons, en second lieu, une fonction donnée par un'sys- . tème d’équations non résolues. Je désignerai par x la variable, par y la fonction dont on cherche les changements de sens, et par z, u, e,,.,, les fonctions auxiliaires. On a en tout n -+- 1 quantités liées par n équations.

Si on supposait l’élimination effectuée et y représenté par une fonction de x, la méthode consisterait encore à poser

dr — o,

pour en déduire x. Or nous savons trouver djr sans faire l’élimination (30) -, et pour cela il faut di fierentier les équations proposées. Mais comme le seul usage que nous ayons à faire de dy est de l’annuler, il sera plus' court d’introduire celte condition dans l’opération même, en traitantjcomme une constante. Dès lors les n équations différentielles contiendront au premier degré le s n différentielles dx\ dz ,

, , i . , . , <lz du du . .

du, dv,.:.\ ou les n — i derivees— i — i — »-*mSi ondivisepar-

tout par dx. Si donc on élimine ces dérivées, ce qui peut toujours sé faire, puisqu’elles entrent au premier degré, on obtiendra une équation de condition. La joignant aux n proposées, on aura n -f- i relations entre les n -t- i quantités qu’elles serviront alors à déterminer.

Les valeurs de x ainsi trouvées correspondront aux changements de sens, celles de j" seront ces changements de sens eux-mêmes, enfin celles de z, u , ., seront des valeurs

ordinaires dépourvues d’intérêt et qu’il sera souvent inutile de calculer, si l’élimination peut s’effectuer sans cela. Pour discerner la nature de ces changements de sens on pourra recouri r à la dérivée seconde (47),ou à des caractères particuliers.

APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. Il5

91 . Exemple. — Je prendrai comme application Un problème que Fermât avait été conduit à se poser d’après certaines vues philosophiques, pour l’explication de la réfraction simple de la lumière. Un point étant susceptible de se mouvoir dans deux milieux 31L, 3Tl/ séparés par un plan, avec des vitesses constantes représentées par F, i/; quelle route doit-il suivre pour parvenir dans le plus bref délai possible d'un point A à un autre A', en traversant la surface de séparation ?

... . 3 Fig. 1.

arc'

Le parcours est évidemment rectiligne dans chacun des deux milieux et la question consiste simplement à trouver le point de passage M. Or on a, pour la durée des deux mouvements uniformes, ‘ ' , ■

AM \jh‘ -F- .r‘

par suite, pour le temps total,.

x et x' restant liées par la condition,

* x -t- x‘ = PP' = const.

Pour appliquer la méthode précédente, nous différentierons res équations en traitant T comme une constante

i xdx

x'dx'

dx + dx 1 = o.

La seconde équation

dx' — — dx

transforme ainsi la première

i MP i MP' '

v\!h}+.r i 4- x ' 2 MA ^ma'

cos AMP cos A' MP' sin i sin f

d’où l’on tire

-> smi sin i'

: const.

On obtient ainsi la loi delà réfraction ordinaire.

' Cette solution correspond à un minimum, car la nature de la question ne comporte évidemment pas de, maximum.