FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

92. Fonctions explicites. — Considérons en premier lieu une fonction explicite de plusieurs variables

c‘t‘ proposons-nous de trouver ses changements de sens. Je

supposerai un maximum, uuiquemcMit pour fixer le lan gage- *

Soient a, b, c, . . . , un système de valeurs qui se rapportent à Un maximum. La quantité correspondante

XJ— /Ça, b, c, . ..), .

sera plus grande que toutes celles qui l'entourent, quelque système de valeurs voisines de n, b, c, . . . , que nous prenions pourx,y, z,. . . . Elle sera donc en particulier plus ,, > grande que celle que nous obtiendrions en conservant à y,

.z,..., leurs valeurs £>,c,..., et faisant varier x un peu en deçà et un peu au delà de a. Ainsi U est un maximum pour la valeur a, quand on considère u comme une fonction de l,a seule variable x. A ce titre (80) a satisfait avec les valeurs fixes b , c, . . . , à l’équation dérivée

En raisonnant de même pour les autres variables, nous serons conduits à former les équations dérivées partielles, , en uombre égal à. celui des Variables. Elles pourront donc

' servir à déterminer les valeurs a, b, c de ces dernières,

après quoi on obtiendra U, en les substituant dans l’expression générale. .

93.. II restera à savoir si cette valeur correspond réellement à un maximum Ou à un minimum, et auquel des deux. Voici la méthode qui permettra de résoudre cette question

• Considérons une valeur de u infiniment voisine de- U :

J' Ça -J- a, b -+- (3, c + 7 ,. . .) dans laquelle oc, { 5, y,. . . , désignent des quantités infiniment petites; cl développons la dillérence L — u par la formule de Taylor (77). JNous remarquerons que le premier terme disparait identiquement,

puisque les conditions qui ont déterminé n, b , c,,.., sont

Le second subsistera généralement, et tous les autres pourront être négligés vis-à-vis. de lui comme étant au moins du troisième ordre infinitésimal. On aura ainsi simplement

On envisagera la quantité placée entre les parenthèses. Si elle ne garde pas un signe fixe, indépendant des signes et des valeurs de a, (3, y, , le.syslème a, b, c , . . . , doit être rejeté et la valeur U qu’il fournit ne correspond pas à un changement de sens. Si elle garde un signe fixe, U sera un maximum ou un minimum suivant que ce signe sera — ou car alors la différence placéé dans le premier membre aura toujours une valeur positive ou négative.

Si tous les termes étaient identiquement nuis, on serait conduit comme ci-dessus (81) à exiger qu’il en fût de même de toutes les dérivées partielles du troisième ordre. On envisagerait alors la partie du quatrième ordre comme nous venons de le faire pour le second ; et ainsi de suite.

94. Il reste donc à montrer comment on pourra trouver les conditions pour qu’un polynôme homogène en ce, (3, y-,..., garde un signe fixe, qu’on peut toujours supposer positif, puisqu’il suffirait dans l’autre cas de changer le signe de tous les termes. C’est ce que je vais faire pour le second

degré, qui suffît, comme on vient de le voir, dans le (as général.

Je désignerai le polynôme par

A, A', A ff .élant des quantités qui ne renferment pas a. Aest une constante absolue, puisque le polynôme est-homogène, et elle ne peut être nulle. En effet, si elle l'était, on pourrait disposer de (3, y ., ... , pour annuler A" et alors le polynôme se réduisant à A'a changerait de signe avec a. A la vérité on pourrait s’y opposer'en faisant encore A' = o , mais a disparaîtrait par là complètement, re qui est contre l’hypothèse. • * .. •

On peut donc mettre l’expression sous la forme

Comme on peut disposer de (3, y, . . . , de manière a annuler la seconde partie, et que la première est essentiellement positive, nous aurons d’abord cette condition nécessairp

Elle sera suffisante, si on fait en sorte que la seconde partir reste elle-même constamment positive.

Celle-ci ne contient plus a. Elle est encore homogène et peut être mise sous la forme

B, B', B" ne renfermant pas (3. On sera conduit connue tout à l'heure à poser , *

et à considérer un nouveau tiinômc; et ainsi de suite.

Un arrivera ainsi à une dernière expression qui, ne devant plus contenir qu'une variable et rester homogène, aura la forme