Exemple. — Soit l'équation

(« — /«j’-f- (x — pY -+- (jr — gY -f (2: — <•}’ + ,« . = »,

les équations dérivées partielles seront

On en tire s

et, par suite, ■>

U = m zt \fîi ,

double valeur qui se décompose en

U, = /» + \jn , U ,==*» — \fït.

La quantité qui a disparu du premier membre par le choix de valeurs de X t y, a, . . . , étant essentiellement positive, il en résulte que le radical a pris par là sa plus grande valeur. Par suite, U, est un maximum et U, un minimum.

99. Fonctions données par un système d'équations. — Sort enfin une fonction de plusieurs variables donnée par un système d’équations non résolues. En n’y euvisageani qu’une seule variable et appliquant la règle (90), on obtiendra une équation de condition. En opérant de même pour les autres, on formera autant de conditions que de variables. Or si on a n relations entre m quantités, il y aura m — h variables indépendantes, et par suite m — n conditions. Les joignant aux n proposées, on obtiendra it» système de m ('-quations entre çcs m quantités.

* Les valeurs des variables indépendantes seront" celles qui caractérisent le changement de sens. Celle de la fonction principale sera le maximum ou le minimum lui-même. Enfin celles des fonctions auxiliaires, des quantités souvent inutiles qu’on se dispensera de calculer si on le peut. Pour discuter la valeur trouvée, on aura recours aux dérivées du second ordre (56) ou à des caractères particuliers.

100. Exemple. — Proposons-nous de diviser un nombre ht en A parties x, y, 2 ,. . i>, telles que le produit u de

puissances déterminées entières ou fractionnaires /», q y r u . t de ces quantités, soit un maximum.

Nous poserons ici

u — xP yi z r . , ,v',

avec la condition -,

ce qui permettra de considérer r, par exemple, comme une fonction auxiliaire, et x, y, z,..., comme des variables indépendantes.

Ne cousidérons, eu premier lieu, que x, puis dilîërctilions en traitant u comme une constante, d’après la méthode (90), il viendra ,

O = p.rP~' yt z r . . . v'dx + txP y z r . . . dv ,

dx -t- dv = 0 .

F.a première de ces équations peut s'écrire: ■

— dx - dv ] — o.

O 11 peut supprimer le premier facteur, car les racines x = o, } =o, z — o, . . . , v— o, sont étrangères, puisqu’elles réduiraient le nombre effectif des parties qui doit être égal

xV rï z r . . . v‘

APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. T Sf 5

à À. On a donc seulement

ou, d’après la seconde relation,

Telle est la première équation de condition. Curttmc toutes les autres variables entrent d'une manière analogue, il est clair que leur considération successive conduira au système de conditions

en désignant pour abréger par s la somme connue des exposants

On tire de là les valeurs des variables

ni/i niq wr

.et celle dç la fonction

l>r= pP i/l t r . . .

Elle sera évidemment un maximum, car a peut approcher de zéro pour de petites valeurs d’une variable et ne peut augkncntcr indéfiniment, puisque les variables ne peuvent dépasser m. On voit que ce maximum est atteint

lorsqu’on partage le nombre proposé m en parties respectivement proportionnelles aux exposants qui leur sont affectés.

Si on veut, en particulier, rendre le simple produit ' xy r z. . . v maximum, on fera

p = q = r = . .. =st= 1 , s=l, \

le maximum s'obtient alors quand toutes les variables sont égales.

applications analytiques du calcul différentiel, ny