RACINES SIMPLES

107. La question que nous nous proposerons ici est la suivante : Considérant une fonction-

dont les deux termes sont dqs polynômes entiers et rationnels en x, la décomposer en une somme de fractions dont les numérateurs soient des constantes et les dénominateurs des expressions du premier degré.

On peut d’abord, sans restreindre la généralité de la question, effectuer quelques simplifications.

Nous pouvons supposer le numérateur de degré inférieur à celui du dénominateur, car, s’il en était autrement, on effectuerait la division algébrique jusqu’à ce qu’on obtint un reste de degré inférieur. On aurait alors partagé la fonction eu deux autres, à savoir, un polynôme entier et rationnel. que l’on conserverait à part et une fraction pour laquelle la condition se trouverait remplie.

On peut aussi admettre que le numérateur et le dénominateur n’ont aucune racine commune, car il s’ensuivrait pour ces deux termes des facteurs communs qu’il suffirait de supprimer. - , - . ■'

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On peut encore faire en sorte que le terme du degré le plus élevé au dénominateur ait pour coeflicient l’unité positive. Car on peut diviser les deux termes de la fraction par ce coefficient et changeur au besoin tous les signes.

Nous supposerons enfin, comme premier cas, que le dénominateur n’a pas de racines égales. Il peut alors se mettre sous la forme d'un produit de facteurs simples .

108. Conjmençons par établir la possibilité du développement. Il est d’abord indispensable de prendre pour dénominateurs les facteurs de tfi. Car si on réduit toutes les fractions au même dénominateur, ce dernier sera le produit de tous les autres. Il Sevra du reste être identique à et comme un polynôme ne peut se décomposer que d’une seule manière en facteurs premiers, il faut absolument que ces facteurs soient les dénominateurs partiels.

Si nous désignons par ¥ (x) l’expression qu’on obtient en privant ÿ (x) du facteur x — a,-

on aura identiquement, et quelle que soit la constante A,

SW — *(x) 1

car les deux membres reproduisent la quantité proposée.

On décompose ainsi f en une première fraction qui

remplit les conditions voulues et une autre expression encore rationnelle. Si donc on pouvait faire eu sorte que le dénominateur do cette dernière lie contint plus le facteur x — a, la question auraif évidemment fait un pas.

l36 LIVRE II.

Or il suffit pour cela que le numérateur renferme luiméme ce facteur x — a, qu’on pourra alors supprimer; c’est-à-dire qu’il s’annule pour l'hypothèse x — a, ou qu’on ait

<f(a) — Aï’(a) = o,

ce qui exige simplement qu’on prenne pour l’indéterminée A la valeur suivante

laquelle sera toujours admissible comme n’étïnt ni infinie, ni nulle, ni indéterminée. En effet, aucun de ses termes ne peut s’annuler, puisque <p n’a pas de racines communes avec ÿ qui s’annule pour la valeur a, et qqp d’autre part Ÿ a été obtenu en privant de cette racine a, qu’il ne renfermait qu’une fois.

Si on traite alors dé même la seconde fraction, on la défi

composera a son tour en une première partie ^ et une

autre qui ne contiendra plus x — b à son dénominateur ; et ainsi de suite. De ceKe manière on obtiendra en définitive une expression de la forme •

109. Je dis maintenant que le développement ne peut avoir lieu que d’une seule manière. Nous savons déjà que les dénominateurs seront forcément les mêmes. Supposons donc qu’on ail trouvé par deux méthodes différentes

On tirerait de là

A = A'-tr-(.r — a)(X' — X).

Cette égalité devant, comme la précédente, avoir lieu .pour

applications analytiques du calcul différentiel. 137 toutes les valeurs de x , on peut y faire x — a, et alors elle donne • •

Nous établissons par là l’identité des deux termes relatifs à la racine a, et par suite de tous les autres, puisque cette racine est quelconque.

110. Il importe donc peu que la valeur (28) de A ait été obtenue en faisant à la racine a celte condition particulière

■ d’être envisagée la première , puisque toute autre riiétliode # reproduirait nécessairement le même résultat. On peut par suite former par une simple substitution de lettres les coefficients des termes en />, c, . . . m.

Mais il est nécessaire pour cela de faire disparaître la fonction Ÿ qui est le résultat d’une division particulière à la racine a. Or on a (101), en recourant à la valeur (27) de Ÿ, l *y . v • •

et par suite

.ffîy

. La formule complète sera donc

On peut dans chaque Cas" particulier obtenir une vérification, en réduisaift au même dénominateur et effectuant tous les calculs, ce qui devra reproduire exactement l’expression proposée.