Supposons maintenant que le dénominateur ait

des racines égales.. Nous le mettrons sous la forme'

• . ,Ji(x) = (a.' — fc) K {.r — A/*. . .(ar— >1^,

a ,(3,. . [x, désignant des nombres entiers et positifs dont quelques-uns peuvent être l’unité.

Démontrons en premier lieu la possibilité du développement. il est clair d’abord que les dénominateurs seront nécessairement les facteurs de i|/, mais qu’ils pourront ligurer à toutes les puissances qui ne dépassent pas a, (3,..., p. Désignons par Y le résultat qu’on obtient en privant complètement <j< de sa racine a , ' •

On aura encore identiquement, quel que soit A,

et on peut faire en sorte que la seconde fraction renferme à son dénominateur le facteur x — a une fois de moins que la proposée. Il suffit pour cela que le numérateur s’annule pour cette valeur ou cyie

valeur qui est encore dans ce cas finie et déterminée. "

Si maintenant on opère de même sur la nouvelle fonc-

lion, on en extraira un premier terme — qui

aura pour dénominateur la plus forte puissance de a: — a laquelle est maintenant « — i , et une autre partie qui ne renfermera plus ce facteur qu’avec l’exposant « — 2 ; et ainsi de suite, jusqu’à un terme en x — a au premier degré. Le dénominateur du nouveau reste sera alors complètement débarrassé de la racine a. On l’envisagera par rapport à b et on continuera toujours de même. Il est clair qu’on obtiendra ainsi la forme suivante :

f(x)— A A ‘ Aj

[x-bf^ [x-bf

114. Montrons, en second lieu, que le développement n’est possible qqc d’une seule manière. Nous avons reconnu déjà que les dénominateurs sont forcément' le's fadeurs

«le ip. Soient « et a! les plus fortes puissances de x — a dans les deux développements, et supposons que a' soit au plus égal à «. On aura

Si on fait x = a, la second terme disparait, puisque a n’cst pas nul. Comme A ne l’est pas non plus, il faut que le premier subsiste, et pour cela qu’il soit indépendant du fac- ’teur x — a, ce qui exige qu’on ait

L’égalité donne alors

Ainsi les termes de plus fort exposant sont identiques. Supprimant ces termes de part et d’autre, et passant aux suivants, nous établirons, dans toutes leurs parties, l’identité des deux formules.

11S. Puisque le développement n’cst susceptible que d’une seule forme, il suffit d’obtenir par la méthode la plus simple la partie relative à une quelconque des racines.

Dans ce but, je ferai pour abréger

Si jè développe par-la formulé de Taylor, il vient

en désignant par R le reste de la série, sauf le faeteur (x— a)* qui s’y trouve partout cil évidence. On tire de là

Nous obtenons ainsi la partie du développement relative à la racine quelconque a, et par analogie nous formerons son expression complète

, , , .A," (fl)