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c’est-à-dire

l’elle est 1 équation de la tangente à une courbe quelconque. On la met ordinairement sous la forme

•Hx

il suffit dans chaque ras d’y substituer la valeur de la dérivée -j- tirée de l’équation de la courbe.

118. Exemple. — Considérons les paraboles représentées par l’équation

( 2 9) y=qx\

dans laquelle n est un nombre entier ou fractionuairc, positif ou négatif.

11 vient en différenliani

dy y *

— = //tir”-' =

• ’ • dx , je

et en substituant dans l'équation de la tangente

Y — y = nl{X — x)=.n J -TL-

JC ' 9 JC

-ni

Pour construire facilement cette droite, nous chercherons son ordonnée à l’origine en faisant

On voit qu’elle esfrégale dans la parabole d’ordre n au multiple i — n de l’ordonnée du point de contact.

On a, en particulier, pour la parabole du second ordre,

y’xxT.px, y = ^?.p.x t , « = — , I —

pour la seconde parabole cubique ,

y' = mx 3 , y — qm.x, n — ~ * 1 — n —

pour l’hyperbole,

xy — m', y — m} . x~' , n = — i, i — n = 2, Y 0 = ay .

119. Normale . — On appelle normale à une courbe, en un point dit A' incidence, la droite qu’on y mène à augle droit sur la tangente. Si nous nous bornons aux coordonnées orthogonales, son -coefficient angulaire devra être réciproque et de signe contraire à celui ^ de la tangente;

comme elle doit du reste passer par le point considéré (x, y), elle aura pour équation

r.j8 i.ivre ni.

ou sous une forme symétrique

(X— x) dx -t- (Y — y) dy = o. - ,

120. On peut déduire de là une propriété générale de la normale. Cherchons en efléi la plus courte et la plus grande distance de deux courbes C, CV Si x, y et x', y' désignent les extrémités de celle distance A, on aura

Cette expression renferme quatre variables; mais deux seulement, x et x', sont indépendantes, car y et y’ en sont , respectivement fonctions d’après les équations des deux courbes que nous n’avons, pas spécifiées.

Pour trouver les changements .de sens de A (92), nous devons annuler ses deux dérivées partielles relatives aux variables indépendantes. Si nous y envisageons d’abord x - , comme y seul en est fonction, on aura

Nous poserons donc . .

x — x' ’ dy

Mais est le coefficient angulaire de la droite qui

oc - OC ^

• dx

joint les points [x,y) (x',y); — — est celui de la normale

au point (x,y) ; donc la droite en question est normale à la courbe C. En considérant de même l’autre dérivée partielle, on reconnaîtrait qu’elle est aussi normale à.la courbe C'. On voit par là que la plus courte et la plus longue distance de deux lignes se mesurent suivant leurs normales communes.

applications géométriques du calcul différentiel* «te

Si on réduit on particulier une des lignes à un point, ou reconnaît que la plus courte et la plus longue distance d'un point à une courbe s’estiment suivant les normales qu’on peut lui mener par ce point.

121. Tangente, normale, sous-tangente, sous-normale. — On appelle proprement tangente et normale les portions de ces droites qui se trouvent comprises entre la courbe et l’asedes abscisses. La sous-tangente et la sousnormale sont leurs projections sur cet axe. Nous les considérerons comme des longueurs absolues en faisant abstraction des signes. .J'

Si on se borne encore aux coordonnées rectangulaires, on

aura pour 1 inclinaison <p de la tangente sur I abscisse et par suite de la normale sur 1 ordonnée

U ' n Zl = 7Tx

Les triangles rectangles MPT, MPN, donneront donc

sin ÿ

■ cot 2

S, = ;>cot* —

ajr ■ <ly

— •/ 'ang i

Exemples. —

On s'assurera facilement

que ces quatre

longueurs sont respectivement constantes dans les courbes

suivantes :

T eaclrice.

x — ru -\-\j r,

< ’-y' + nL f ,

Cercle,

Logarithmique,

X—me n ,

Parabole,

J* = /W-+-2/ÏX,

§ II