FORME DES COURBES

122. Points limites. — Reprenons des coordonnées rectilignes quelconques et cherchons les points dans lesquels la tangente est parallèle à l’axe des x. Il faudra pour cela que son équation se réduise à Y =j, ou qü*on ait '

dÿ

di = °'

En combinant cette équation avec celle de la courbe, on aura deux relations pour trouver les coordonnées inconnues. 1 \ . . '

On verrait absolument de même que pour avoir les points où la tangente est parallèle à l’axe des y, il faut joindre à l’équation de la courbe • • .

* • ' . dx

. ’ ‘ . ‘ dr ~ °’ ‘ '

appi.ica'J iONS"r,f.ortÉTniQi'ts ni eu et f niFFfni'pi'iM.. i.5i

Il n'est pas inutile île remarquer que ces puiuis u'ont pas une existence absolue sur une courbe dpnnév, mais qu’ils sont relatifs ai» système d axes que l’ou emploie. ISous allons, au c.ontraire, en envisager d’autres qu’on appelle /joints singuliers et qui présentent des accidents de forme indépendants du choix des axes.

123. Points il' inflexion. — Pour acquérir une idée plus eoniplèle’de la forme d’une ligne en un point, il nous faudra étudier le sens et-la grandeur de sa courbure. Or il est très-facile de résoudre la première partie dé la question, • c’est-à-dire de savoir de quel côté dé la tangente se trouve la courte. On l'exprime en disant qu elle est connexe ou concave par rapport à l’axe des abscisses.

Fi.; >.

Pour une epurbe convexe C , en s’avançant de M en M' dans le spns croissant des abscisses, on rencontre des inclinaisons croissantes y et tf'; car <p' est l’angle extérieur et cp l’angle intérieur d’un triangle- Le coefficient angulaire varie dans le même sens, car il passe de zéro » l’infini-, on même temps qqe l'inclinaison augmente depuis zéro jusqu’à dy "

1 angle des axes. Ainsi est une fonction croissante de

.r, et par suite sa dérivée ~~ est positive. ( 12).

Si, au cou lia ire, la courbe est concave, 'l'inclinaison v,i