V UE III

en diminuant, car <p 'est alors l'angle extérieur et l’angle

intérieur du -triangle; ~ est donc décroissant et '■—> né- - dat , dx-

gative. - •

Si enfin la courbe C" présente en M un point <T inflexion ,

où la courbure change de sens et où la tangente traverse „

la courbe, la ligne qui était eu deçà convexe ou concave de-

vient au delà concave ou convexe; en d autres termes-—

. dx ‘

change de signe et passe par zéro.

Ainsi, en résumé, la valeur de la première dérivée donne la direction de la courbe, et le signe de la seconde indique le sens de la courbure delà manière suivante :

rfr ^

convexité ; .

dx'

■ o, concavité ;

-rr — = o, inflexion.

<ix-

Si on veut trouver directement les points d’inflexion d’une courbe proposée, il suffira donc de joindre à son équation la suivante .

~dxi = °’ ■ <

et d’éliminer entre elles x et^. Ce système aura^ en général, des solutions, et par suite l’existence des points d’inflexion est normale dans les courbeç.

124'. Points multiples. — On rencontre parfois des points où une ligne se epupe cllc-mème de manière à présenter plusieurs branches et plusieurs tangentes. On les appelle des points multiples'.

APPLICATION S GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIEFÉEESTIEL. l 53

Le coefficient delà tangente ~ y-doit èire susceptible de

plusieurs valeurs. Mais quand on veut trouver d’après. une équation - , *

la valeur de ce coefficient, -la méthode (27) consiste à la dif- •féfentier sous la forme ,">•

On obtient ainsi une équation du premier degré, 'incapable, ' tant qu’elle subsistera, de fournir plusieurs valeurs pour

l’inconnue. y-. Cette équation doit donc s’évanonir dans les

points en question, ce qui exige qu'on ait à la fois «

En résolvant ce système, on trouvera les coordonnées des points cherchés. Mais il faudra bien 'entendu quelles satisfassent à l’équation de la courbe, ce qui donne, une relation ’ de condition. Ainsi l’existence des points multiples ne sera pas normale comme celle des points d’inflexion 5 elle constituera au contraire une exception.

125. Ces points une fois trouvés, si 011 y veut connaître les directions de la courbe, on ne peut plus recourir à la relation différentielle qui a disparu. Mais si nous formons l’équation différentielle seconde, elle nous donne pour un point quelconque

Aux points eu question le dernier terme, disparait d’après là

i.54 ' livre ni.

condition (3i) et on peut écrite-

(S0 ffi

ytxrljJ ifx

i dx 1

équation du second degré qui fournira deux valeurs pour . ■— et par suite deux tangentes [tour la courbe en ce point.

Si ces deux valeurs sont réelles et inégales, y sera en général réel et doué de deux valeurs en deçà et au delà de ce point. On aura alors deux branches -ronlinues Ou un nœud. 11 peut aussi arriver que les deux valeurs de jrue soient réelles que d’un côté, ou que l’expression de l'ordonnée ii’ait qu’une seule valeur. On obtient dans ce cas un point saillant ou anguleux.

Si les racines sont égales, ïes deux branches se louchent. 11 se peut encore que y soit réel de part et -d’autre, Ce qui constitue un point de contact, ou qu’il ne soit réel que d’un côté', ec qui donne un rebroussement. "On le-dit de première ou Aeseconde espèce, suivant que les deux parties de la courbe laissenlja tangente entrecllcs ou d’un meme côté. On en Sera averti par le sens de la courbure, b’est-à-

dire par le signe de qui sera diiléient ou le môme pout;

les deux branches ('). L’existence de ces points exige encore la condition suivante pour l’égalité des racines

Ils seront, par suite, encore plus rares que les précédents.

12(5. Si on avait, outre' l’équation de la courbe et ses

(') Ce caractère serait eir tlclaui pour un rebroussement do première espèce dont la tangente serait parallèle a l’axe des^ t mais on peql trouver directement ces points en choisissant, parmi ceux dont la langente est pa- . î allèle a l’axè desj, ceux aux environs desquels l'ordonnée n’a qu’une seule valeur qui doit être finie et réelle de part et d’autre.

applications géométriques ou calcul différentiel, i 55 deux dérivées du premier ordre, les trois suivantes

ce qui donne deux relations déterminantes et quatre conditions, l’équation différentielle seconde s'évanouirait encore, et il faudrait recourir à celle du troisième.

dr J , . . ..

ordre. Elle renfermerait au cube, et indiquerait, par

suite, trois tangentes ou un point triple. On pourra ainsi obtenir des points de plus en plus multiples;. mais leur existence deviendra de plus en plus exceptionnelle, car le nombre des conditions nécessaires s’accroîtra rapidement ('). • ' -• •

••• • § ni- • ' • ••