COURBES ALGÉBRIQUES

133. On évite facilement les difficultés qui naissent de l'indétermination, quand l’équation de la courbe est algébrique. La méthode peut être alors plus nettement formulée, tout en restant complètement générale.

iClU LIVRE III.

Pour trouver d’abord les asymptotes parallèles à l’axe des y , ordonnons l’équation par rapport aux puissances de cette variable

Xy ,f -4- X, y -f- X,y n ~ 7 -t- . . -4- X a „ , i *4- X„ = o , on, en divisant par v",

Pour y = oo , l’équation se réduit à

si donc celle-ci a des racines réelles pour x, l'équation de la courbe sera satisfaite en prenant chacune d’elles pour abscisse avec une ordonnée infinie. Elles fourniront par suite autant d’asymptotes. Ainsi les abscisses des asymptotes parallèles à Taxe des ordonnées sont les racines du coefficient de la plus forte puissance dey.

Si m est le degré de l'équation, ni — n est au plus le degré de X. Ce pol voèine n’a doue pas plus de ni — n racines, ou la courbe plus de m — n asymptotes parallèles à l’axe des ordonnées.

134. Cherchons maintenant les asymptotes inclinées. Les termes de degré m ont la forme Pj ou x"‘ . P Leur ensemble est donc le produit de x m par une fonction de — . De même la partie de degré m — i sera le produit de

a J " -1 par une autre fonction de -, et ainsi de suite. De sorte .que l’équation peut être prise sous la forme

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. l63

Divisons tout par or”.

et faisons x = oo . Nous savons que ^ prend alors la valeur finie h ( 131 ). Il reste par conséquent

Le coefficient angulaire de 1 asymptote est donc fourni par * les facines de l’expression qu’on obtient en remplaçant dans la partie du degré le plus élevé x par l’unité et y par h.

Substituons à — dans l’équation de la courbe la valeur

/»-+-- ( 32 , p. 109) qui convient à l’asymptote. Nous ne

commettrons par là qu’une erreur qui deviendra infiniment petite et disparaîtra quand nous ferons X — 00 . Il vient ainsi

Développons chaque terme par la formule de Taylor en remplaçant dans cette dernière a par h et .r par - , nous aurons

/Ah) h

i(?4 i.ivnE nr.

on, en ordonnant par rapport à x,

(/(*)+ l -WV‘) +/(*).] j '+ ~ [7/" ( * ) + V, (*)+/. (* )]+•••

Le premier terme est nul, puisque h est une des racines de l'équation (34). On peut par suite supprimer le facteur

- et écrire en abrégé

de sorte qu’en faisant x = 00 , il reste

135. Si A estime racine simple de l'équation (34 ),/'(/<) n’est pas nul et on trouve pour A; une valeur finie.

Si le résultat de la substitution de l’untié pour x et de h pour y dans la partie de degré m — 1 la fait évanouir, on un tnot si J\ (//) = 0 , on a k = o, et l’asymptote passe à l’origine. Cela arrive toujours quand l’équation-u'a pas de termes du degré m — 1 .

Si h est une racine double,^' (h) es"l nul, et si f (h) tie l’est pas, on a k = «3 ; ce qui indique l’absence d’asymptote et conduit à rejeter cette racine.

Si fi (h) est nul en même temps que f (h), k prend la forme indéterminée. Mais si nous remarquons que les deux premiers termes -de l’équation (35) disparaissent alors à la

fois, nous pouvonsy supprimer le facteur— et écrireen abrégé

APPLICATIONS CÉOMÉTIIIÇLES DU CALCLI. DU- 1 ÉREMIEL. |65 en faisant or infini, il rcfte

équation du second degré qui donnera deux racines pour l'ordonnée à l’origiue. Si elles soûl réelles, on aura deux asymptotes parallèles duus la direction indiquée pur la valeur de h ; si elles sont égales, une seule ; si elles sont ima-, ginaires, il faudra rejeter cette valeur de h.

On pourrait encore discuter celle équation comme la précédente. Je me bornerai à considérer le cas où scs trois coefficients s'annuleraient à la fois pour une valeur de h , ce qui ne pourra arriver que pour une racine triple de l'équation (34). On devra encore- recourir à la formule (35), y effacer les

trois premiers termes , supprimer le facteur > puis faire

x = oo , ce qui la réduira à sa quatrième partie qui est du troisième degré en k. On aura alors , en général, trois ' asymptotes parallèles à cette direction. Et ainsi de suite.

On voit par là que le nombre des asymptotes inclinées ne peut surpasser le degré de h dans f [h) ou de y dans J\ puisque plusieurs racines se confondent, lorsque autant d’asymptotes deviennent parallèles. Or le degré de y dans / -est au plus égal au plus fort degré n de y dans toute l'équation. Il y a donc au plus n asymptotes inclinées. Mais nous avons déjà reconnu qu’il y en a au plus m — n parallèles à l’axe des ordonnées. Donc ûue courbe algébrique ne peut avoir un nombre total d’asymptotes supérieur au degré m de sou équation. •

136. Exemple !. — Appliquons à l’équation générale du second degré

ay 2 ■+■ bxy -f- ex 2 ■+- tly ex f — o .

On ne peut avoir d’asymptotes parallèles à 1 axe desj', si n

n’est pas nul. Nous prendrons doftc

f ( A ) = ah 3 -+- bh -f- c,

/'(/<) = 2 ah -+- b, fx \h) — </A -f- c,

et nous poserons

/(h) = ah*-+ bh-yc = o,

! — b±\!b* — 4 ac

Il faut d’abord que le radical soit réel, ce qui exclut l’ellipse. On obtient alors deux directions auxquelles correspondent les valeurs

/ — /W J / d± bd — -iae \

f (h) su y yÂ* — 4 ac )

Comme elles doivent être finies, il faut en outre que le dénominateur ne soit pas nul, ce qui exclut encore la parabole.

Exemple II. — Soit l’équation

xy 1 — 2 x*y -(- x? -f- xy — .r 1 — &x -4 -ni =r o.

Pour avoir les asymptotes parallèles à l’axe des ordonnées, nous poserons x = o, ce qui indique cet axe lui-même.

On aura ensuite

A* )■=**■- af-»-,, /,{A) = A— 1 , f,[h) = — ,6, /'(A) = 2A-2, f\ (A) = 1 ,

Si nous posons

noift obtiendrons deux racines égales à l’unité, ce qui indique la direction de la bissectrice de l’angle des coordonnées positives.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CAI Cl I. DIFFÉRENTIEL. 167

Comme on a du reste à la fois

il faut recourir à l'équation

Elle a pour racines -+- a et — 3, ce qui fournil les deux asymptotes

$ III