COORDONNÉES POLAIRES

137. La première condition pour l’existence d’une asymptote est celle d’une branche ouverte, ou d’un rayon vecteur infini. On cherchera donc d’abord les valeurs finies a de l’azimut 8 qui rendent r infini ; et « sera l’inclinaison de l’asymptote sur l’axe polaire. En ellèt,.>le rayon vecteur lui devient parallèle quand il la rencontre ainsi que la courbe à l’infini.

Si A désigne la distance de l’asymptote au pôle, son équation pourra être prise sous la forme

• rsin(0 — o) = i.

Celte fonction conservant la valeur constante A, l a encore quand on s'éloigne indéfiniment, et on peut écrire

A = [/-sin(6 — «)] .

Mais dans ces régions la courbe cl la droite se confondent sauf les quantités négligeables, et on peut considérer cette expression comme formée à l’aide de l’équation de la courbe. Il suffira donc de la calculer et d’y faire 8 — a, ce qui rend r infini cl le second facteur' nul. On évitera la forme

l68 LIVRE III.

o X oo par la règle connue (104) et on aura ainsi la valeur de A.

Si elle estfinieet unique, elle fournit une seule asymptote ; si elle est multiple, plusieurs asymptotes parallèles; si elle est nulle, une asymptote qui passe par le pôle. Enfin, si elle est infinie, elle indique l’absence d’asymptote et conduit à rejeter la valeur correspondante de a.

On peut, si on y trouve avantage, employer la formule plus simple

car on a séparément ( 24 , p. 128)

f~ sin(9 — a) ~| =

138. Exemple. — Prenons l’équation des coniques rapportées au foyer et au grand axe

; — ecosQ

r devient infini pour

I — e cos a = 0 | cos a = — • e

Pour que cet angle soit réel, il faut d’abord que e ne soit pas inférieur à l’unité, ce qui exclut l’ellipse. L’angle n’étant d’aillenrs déterminé que par son cosinus, on obtient deux directions également inclinées sur l’axe.

On a ensuite (101)

A = [r(9-«)] = E = Ul l

1 |i — ccosôj o [esmOj

e sin a