L’équation du cercle sera alors (X-ï)’ + (Y

Pour exprimer qu’il passe au point considéré (;r, y), nous

aurons la relation

Pour le point voisin, il faudrait do môme substituer à X et Y : ,r+ dx et y •+■ dy. Mais si, après avoir fait celte opération, on retranchait la dernière relation, on formerait l’accroissement qui résulte pour le premier membre des variations dx et dy , c’est-à-dire sa différentielle. Nous aurons donc une relation équivalente en différentiant l’équation, ce qui donne

C’est là un principe général, et quand une formule exprime qu'un certain fait géométrique a lieu en un point d’une courbe, il suffit de la différencier pour qu’il ait encore lieu au point voisin.

Pour faire passer le cercle en un nouveau point infiniment rapproché, nous n’aurons donc qu’à diflérenlicr de nouveau

d ’ y dx-

Ou tire de là

et, par suite, de la relation précédente

dx ' 1

Si nous substituons ces deux valeurs dans la première équation, il vient

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES OU CALCUL DIFFÉRENTIEL. ly3

et un extrayant la racine

dx-

11 suffirait de reporter ces trois expressions dans la formule ci-dessus pour avoir l’équation générale du cercle oscillateur, mais elle est sans intérêt.

143. Il n’est même pas nécessaire de se fixer dans la mémoire les trois valeurs que nous venons d’obtenir. La dernière suffit. Eu effet, le cercle et la courbe ont trois points, et, par suite, deux éléments communs. Ils ont donc deux normales communes. Mais les normales du cercle sont ses rayons et passent par son centre. Le centre de courbure est ainsi déterminé par l’intersection de deux normales infiniment voisines, et se trouve par suite sur la normale du point considéré.

Or nous savons trouver la normale (119). Il suffira donc d’y porter la longueur p pour obtenir à l’extrémité le centre , de courbure. Quant au sens dans lequel il faut prendre cette longueur, c’est pour la courbe comme pour le cercle dans la concavité. Il n’y aura ainsi d’ambiguïté qu’aux inflexions.

Mais alors (123) = o , p devient infini et le centre dis-

paraît. Avec cette manière de voir, l’expression (38) repré-* sen le une longueur absolue et on fai t abstraction de son signe.

114. Exemple I. — Si on se reporte à l’expression (3o, p. i 49) 3 e normale N, on pourra écrire ainsi la valeur générale (38) du rayon de courbure