I?4 1.1 VUE III

Prenons comme exemple l’équation des trois coniques y 7 = lp.v -I- ijx 7 ,

on en tire, en différentiant deux fois de suite, dy

d 7 y f dy ~ ]’

• y ^ + Uj=' ? -

Élevons la première au carré et multiplions la seconde par y\

f dy ~\ 7

■ > '\ dx\ ~ P* " + ‘ 2 P e l x + ?’ *’•

d 7 y P dy l 3

f ~d^ +3r lTx\ = qr = 2pqx + Ÿ 1 "' retranchant,

cl comme nous faisons abstraction du signe,

- ïü

Ainsi dans les coniques le rayon de courbure est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.

"Exemple II. — En se reportant encore à la valeur de la normale, on peut aussi mettre la valeur générale du rayon de courbure sous cette autre forme

ür

il 7 y

lê

Appliquons à l'équation de la chaînette

dy c T — er* dx 2

Ou en lire

y li?~ 4 ’

et, par suite,

Ainsi dans la chamelle le rayon de courbure est égal à la normale.

11 ne s’ensuit pas que le centre de courbure soit sur l’axe

est positif. Il faut pour avoir ce centre C reporter la longueur Mi\ de la normale de l’autre côté du point d’incidence.

145. Courbure. — On appelle angle de contingence Celui que fait une tangente quelconque avecune droite fixe.

ij 6 li vue ni.

Si on adopte, pour plus de simplicité, l’axe des x, cet angle ne diflere pas de l’inclinaison y.

La courbure d'un arc sans inflexion est l’angle compris entre ses tangentes extrêmes, c’est-à-dire la différence de

FiC- 9-

leurs angles de contingence, car ceux-ci sont les angles extérieur et intérieur d’un triangle dont le premier forme le sommet. C’est la quantité dont la courbe a dévié de la ligne droite dans cet intervalle. La courbure d’un arc infiniment petit de longueur ds sera par suite la différentielle dy de l’anglede contingence.il est clairquela forme sera plus ou moins accusée en cet endroit, suivant qu’une déviation plus ou moins grande dy sera réalisée sur une longueur ds plus

ou moins courte. Si donc on prend le rapport il mesurera ce degré d’accentuation. On l’appelle, pour cette raison, la courbure au point considéré.

On en peut donner une expression très-simple. Si nous menons pour cela les tangentes MT, M"T aux extrémités de l’arc élémentaire MM', elles comprendront entre elles l’angle dy. Les deux normales MC, M'C, qui leur sont respectivement perpendiculaires, formeront un angle égal dy. Or on peut dans cet intervalle confondre la courbe avec son cercle osculateur et considérer MM' ou ds comme un arc de cercle qui a son centre en C, c’est-à-dire p pour rayon et

tlcf pour angle au centre. On a, par suite,

La courbure est donc égale À l’inverse du rayon de courbure.