On peut aussi tirer de là

ds

expression du rayon de -courbure plus simple que la précédente et qui peut être utile dans plusieurs circonstances.

Exemple I. — On s’en sert notamment lorsqu’une ligne est définie par une équation entre son arc s et son angle de contingence <f.

Par exemple, lorsqu’on cherche la courbe suivant laquelle se dispose un fil pesant et flexible, et qu’on appelle la chaînette, les théorèmes de la statique fournissent facilement l’équation (')

s = tangip.

On en tire immédiatement

ds 1

dlf COS'if

Exemple II. — On emploie aussi avec* avantage cette formule pour des considérations directes de géométrie infinitésimale.

. Cherchons, par exemple, le rayon de courbure des spirales sinusoïdes.

(') Nous montrerons plus tard* (228) que cotte équation est bien une conséquence de celle que nous avons déjà considérée ( 144, II).

Prenons pour cela un arc infiniment petit .MM', menons les rayons vecteurs OM, OM', les normales MC-, M' C qui

Fift. 10.

fournissent en C le centre de courbure et en MC le rayon de courbure p\ élevons la perpendiculaire ON sur le rayon vecteur qui donne en MN la normale N de la courbe (129). Enfin abaissons MK perpendiculaire sur OM'.

Les triangles MKM', MON seront semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires, à savoir : la normale MN sur la tangente MM', le rayon OM sur MK qui a été mené à angle droit sur la ligne infiniment voisine OM', enGn ON sur M'K qui diffère infiniment peu de OM. O 11 a donc la proportion