MM' MM

MK — Mû’

ni 9 r

Mais on a dans le triangle MOT (128, II)

y r- f -t~ p — 0 -p fl 0 — ( n + 1 ) 0 ,

d’où

Ainsi dans les spirales sinusoïdes d’ordre quelconque n le

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. I Jÿ

rayon de courbure esl égal au multiple ^ ^ ^ de la normale.

1 47. Coordonnées polaires. — Un moyen fort simple d’obtenir l’expression du rayon de courbure en coordonnées polaires consiste à changer de variables en remplaçant ,r et y par r et 9. Ce calcul a été déjà effectué à une autre occasion, et il suffit d’en rappeler le résultat. Nous avons trouvé ( 02 )

dr "P

r dV

Exemplç. — Si nous prenons comme application la spirale logarithmique

0 dr 5

ni , — = m Lm — r Li

— — ni U m = rL ni ,

c/fl 3 *

il vient, en substituant et réduisant, p = r \/ 1 L- m ,

ou, d’après (128),

P = r J i -+- cot 3 u. = . r .

smp

Mais on a dans le triangle rectangle OMC [fig. 7 , p. 1 56)

OM

OM

cosOMC si n OMS

sinp

Par suite, le rayon de courbure est égal à la normale, et le centre de courbure se trouve à l’intersection de la normale et de la perpendiculaire élevée par le pôle sur le rayon vecteur.