COURBES ENVELOPPES

148. Lorsqu’une équation renferme, outre les coordonnées courantes X, Y , un paramètre ou constante arbitraire a susceptible de recevoir toutes les valeurs que l’on voudra, elle représente pour chacune de ces valeurs une certaine courbe, et par suite pour tout l'ensemble une famille de courbes.

C’est ainsi, par exemple, que les équations

fournissent des familles de droites parallèles, de droites convergentes, de cercles concentriques, etc.

11 peut arriver, comme dans les exemples précédents, que la famille recouvre la totalité du plan de telle façon qu’il n’y ait pas un point par lequel on ne puisse faire passer une de ses courbes. Mais il arrive aussi le plus ordinairement qu’elle n'occupe qu’une portion du plan. Les çontours qui la terminent sont alors appelés Y enveloppe de la famille, chacune de ses courbes prenant le nom d’ enveloppée.

Si, par exemple, on envisage tous les cercles d’un même rayon qui ont leurs centres disposés sur la circonférence d’un autre cercle, de rayon plus grand pour fixer les idées , il est clair qu’ils ne couvriront qu’une couronne circulaire.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. l8l

L'enveloppe est formée dans ce cas de deux cercles concentriques au proposé, qui ont pour ravous - la somme et la différence des deux autres.

L’enveloppe d’une famille de courbes peut être envisagée à un autre point de vue. Puisqu’elle forme la limite entre la portion occupée par les enveloppées et celle qui ne l'est pas, ehacunc d’elles vient s’y appuyer, et comme elle ne la francliitpas, elle lui est tangente ('). Si donc on prend deux enveloppées voisines, elles se couperont près de l’enveloppe, et si elles deviennent infiniment voisines, leur point d - intersection se rapprochera de celte courbe jusqu’à unc.distancc du second ordre (’) et pourra être considéré comme y étant situé. L’enveloppe peut donc être envisagée comme le lieu îles intersections successives des enveloppées, et c’est à ce

point de vue que nous allons entreprendre sa recherche.

, M9. Premier cas. — Donnons-nous l'équation delà famille sous la forme (3g) /(X, Y ;«,) = .>.

Si nous attribuons à a une valeur déterminée, nous aurons 1 équation d’une certaine enveloppée. Pour connaître le point de. l’enveloppe qui lui correspond^ il faut la couper par l’enveloppée infini ment' voisine qui sera représentée par

(4o) /"( X, Y ; «■+■ da) = o. '

Nous trouverons les coordonnées X, Y de l'intersection en

(') J'écarto bien entendu les cas où l'enveloppe serait l'urinée par mie série de points singuliers des enveloppées.

(• ) Un point pris sur une courbe infiniment près du point de contact est il une distauce du second ordre de la tangente. Car celle distance peut ôtro assimilée h un arc de cercle qui serait décrit autour du point de contact avec la corde pour rayon ; et ce rayon ainsi que l'angle au centre sont tous deux infiniment petits. II en sera par suite de même pour deux courbes tangentes, puisque la distance est pour chacune d’elles du second ordre par rapport à la tangente commune.

résolvant ces deux équations. Pour avoir le lieu de ces points, il faudrait ensuite éliminer entre les deux valeurs ce qui caractérise l’enveloppée particulière dont on s’est occupé, c’est-à-dire la valeur de a. Mais il reviendra au même de l’éliminer entre les relations {39) et ( 4 ©), d’où ces Valeurs ont été déduites. Nous pouvons même substituer à ces équations toutes celles plus avautageuses qui en seraient la conséquence. Or, si nous retranchons (39) de ( 4 ©), nous formerons l’accroissement qui résulte pour,/ de la seule variation de a, c’est-à-dire sa différentielle partielle relative à a. Je remplacerai donc la relation ( 4 o) par la suivante

ou, comme du n’est pas nul.

et l’élimination de a devra s’clfectuer entre (39) et (41). De là la règle suivante :

Pour trouver l’enveloppe d’une famille de courbes dont on a l’équation, il sulfit d’éliminer le paramètre entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à ce paramètre.

150 . On remarquera que cette théorie est douée d’une généralité beaucoup plus grande que les premières, car rien dans ce qui précède ne fixe la nature des coordonnées qui peuvent être rectilignes, polaires,' bipolaires, etc., sans que rien soit changé à nos raisonnements ; tandis que les autres théories revêtent une forme particulière pour chaque système de coordonnées.

Exemple. — Cherchons l'enveloppe des droites qui son£ à- une même distance d’un point fixe.

applications géométriques du calcul différentiel. t83 Leur équation sera en coordonnées polaires

/sin (0 — a ) = />.

Je forme la dérivée relative à a

• — r cos (6 — a ) — o,

n’étant pas nul puisque aucun des points des enveloppées nese trouve au pôle, le cosinus doit être nul. Donc le sinu^s est l’unité et ou a

JffMI/ Il ■ * < i /Ubll * U à jfu ■ ■ I

équation d’un cercle de rayon/?.

151. Second cas . — Supposons maintenant que réquation renferme deux paramètres, .

( 42 .) /(X,Y;n, ft)=o.

Comme un seul des deux doit rester arbitraire pour qu’il y ait une série continue de courbes, il existera entre ces paramètres une relation ,

(43) . F(rt, i) = o.

SF ou attribue à a et b deux valeurs qui satisfassent aux relations (4a) et (43), 0,1 aura une certaine enveloppée. La voisine aura pour équation

(44) /{X, Y; «-+-«/«, h + db ) =o,

db restant lié à da par la condition

(45) F (a -+■ du, b -F db ) = o.

Nous aurions le point correspondant de l’enveloppe en calculant X cl 4 d’après les équations (4 2 )> (44)» <‘t leur lieu en éliminant a et b, da et db entre ces valeurs et les rela-

lions (43) et (43). Mais nous pouvons faire directement l’élimination entré les quatre équations (4a, 43, 44, 43) et même remplacer les deux dernières par celles qu’on obtient en en retranchant les précédentes, à savoir

®Wd)— .

©■HS)— -

Or on peut faire disparaître da et db une fois pour toutes, car en égalant les deux valeurs du rapport il vient

et la question est réduite à l’élimination de a et £ entré les équations (4 a )> (43) et (46).

152. Exemple I. — Cherchons l’enveloppe d’une droite qui se meut de manière à intercepter dans un angle <p un triangle dont la surface reste constante et égale à m*.

Si nous prenons les côtés de l’angle comme axes de coordonnées obliques, l’équation de l’enveloppée sera

en désignant par a et b ses coordonnées à l’origine qui forment ici les paramètres arbitraires. Nous avons entre eux la relation

- nb sin o =

. 2 /»’ ab = — — •

•sin <p

En difl'érentiant les deux équations par rapport aux para-

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mètres, il vi'cnt

X da Y db

titlb -+- btla “ o j

ce qu’on peut écrire

adb — — bda ;

d’où en multipliant membre à membre

Comme la somme de ces quantités donne d'ailleurs 1’unilé d’après la première équation, chacune d’elles est égale à - ■ Par suite

a = 2 X, i = îY, * • .

et, en substituant dans la relation paramétrique