XY

2 sin f

équation d une hyperbole qui a pour asymptotes les côtés de l’angle donné.

153. Exemple II. — Cherchons l’enveloppe des droites Fig. n .

telles, que le produit de leurs distances p , p' , à deux points

1 86 livre il r.

fixes reste constant et égal à è s

(47 ) pp'-b 1 !

Si nous employons des coordonnées bipolaires /, / 'dont les points donnés soient'les deux foyers, on aura identique- ' ment

MP 4- MP' = FK,

et d’après les triangles rectangles MPF, MPP, FRF'

. >[? — ji 1 4* ^ r ' 2 — p' 1 — V4 c % — (p — />')'.

Telle est l’équation de l’enveloppée. On peut, eu élevant deux fois de suite au carré, la mettre sous la forme •

( 48 ) 4 (pV 3 p’ 1 p ) =r 4 [r r'- ■+■ b') — ( /•’ H- r. '* — 4 ,;î — 2 è')’.

En .diiférenliant les équations (47) et (48) par rapport aux paran^trps p et p\ il vient

p' dp -H ptlp' — o, P'pdp 4- r* p dp' — o.

On en lire par l’élimination du rapport ~ la troisième relation

et il reste à éliminer les paramètres p, p', entre ( 47 ) •> (48)

et (49).

Or on obtient, eu combinant la première cl la troisième,

p'r ' 1 = p"‘r\— b'n J , ’ et en reportant dans la seconde

4 (r 3 / 2 + b' — 2 iV/ ) — ( r 3 4- r ' 1 — 4 c’ — 2 è")’ =; o.

Ou reconnaît dans la première partie le carré de i (rt J — b'), ce qui permet de décomposer ainsi l'équation

(i J + r' 1 — 4 c ' — 2 b’ — 2 rr 4-2 b 3 ) X ( r 4- /' J — 4 e ’ — 2 6’ 4- 2 rr — 2 è’) = o.

Le premier facteur doit être rejeté car il conduit. à

tandis que r, /•'et 2 c sont les trois côtés du triangle FMF'. Le second donne

équation bipolaire d’une ellipse qui a pour foyers ceux du système, et pour petit axe b.

154 . Troisième cas. — Supposons le cas le plus général, où la famille de courbes est représentée par une équation (E) eutre X, Y, et n paramètres a, b, c , . . ., qui sont liés d’ailleurs par// — 1 conditions (Ei), (E,). . . ,(E„,).

Pour un système de valeurs des paramètres, 011 obtientunc enveloppée. En leur substituant n-hda, b-\-db, c-i-dc,..., on forme un système (F/), ( Fé ) , (E’J, qui représente l’ enveloppée voisine. Le lieu de leur intersection s’obtiendra, comme on a vu, en éliminant entre ces relations les quantités/], b,c,...-,da, db, de , .... Nous pouvons (tour cela substituer aux dernières équations celles qu’on en déduit par la soustraction des précédentes, c’est-à-dire les dillërentïelles (E"), (F’), (E'),. . ., (E'.)> de (E), (E,). (E,),. . . ,(E„,), prises par rapport aux paramètres seulement.

Or la moitié de l’élimination peut toujours être eUeciuéc, car les n équations (E"), (E*), (E”), . . . ,(E' r ,), renferment au premier degré les 11 différentielles //n, db, de , . . . , ou en • • • tlb (ic m .

dix isant par du les n — 1 dérivées — ) — Si donc on fait * da du

disparaître ces dernières, on remplacera tout ce système partiel par une équation de condition. En la joignant à l’équation de la famille (E) et aux n — 1 équations paramétriques (E,), (E,), . . . ,(E„,), on aura en tout n-t-i relations. Il n’y aura plus alors qu’à éliminer entre elles les n paramètres et on obtiendra une équation résultante entre X et Y, qui . sera celle de l’enveloppe.